江西省吉安市2023届高三上学期1月期末质量检测数学（文）试题

吉安市高三上学期期末教学质量检测 数学试题（文科） 2023．1 （测试时间：120分钟 卷面总分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则（ ） A. B. C. 2 D. 5 3. 在中，，为的中点，，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 4. 甲、乙两位同学本学期前8周的各周课外阅读时长的条形统计图如图所示， 则下列结论正确的是（ ） A. 甲同学周课外阅读时长的样本众数为8 B. 甲同学周课外阅读时长的样本中位数为5.5 C. 乙同学周课外阅读时长的样本平均数是7.5 D. 乙同学周课外阅读时长大于8的概率的估计值大于0.4 5. 某城市有一个面积为的矩形广场，该广场为黄金矩形（它的宽与长的比为），现在中央设计一个矩形草坪，四周是等宽的步行道，能否设计恰当的步行道的宽度使矩形草坪为黄金矩形？则下列选项正确的是（ ） A. 步行道的宽度 B. 步行道的宽度 C. 步行道的宽度 D. 草坪不可能为黄金矩形 6. 若，满足约束条件，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图是直角边长分别为2和4的两个全等的直角三角形.则这个几何体的外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 记的内角对边分别为已知．若，则的形状是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 等腰锐角三角形 C. 等腰钝角三角形 D. 不等腰钝角三角形 9. 已知是圆锥的一条母线，是底面圆的一条直径，为正三角形，，则与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知点，，若直线AB关于的对称直线l与圆相切，则（ ） A. 3 B. C. 9 D. 3或9 11. 已知函数及其导函数的定义域均为且都为连续函数，记，若，均为奇函数，，则（ ） A. B. 0 C. 2 D. 2023 12. 椭圆两个焦点为，，以的短轴为直径的圆记为，过作圆的切线与交于，两点，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京召开．某媒体从甲、乙等6名记者中选两人参加宣传报道，则甲、乙至少有一人被人选的概率为________． 14. 记函数（）最小正周期为，且的图象关于对称，当取最小值时，_______. 15. 过抛物线：准线上的点作的两条切线，切点分别为，，则_______. 16. 已知函数图像在点和点处的两条切线互相垂直，若，则实数a的范围是________． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17. 设数列为等差数列，，数列为等比数列，其中． （1）求，的通项公式； （2）若，求的前n项和． 18. 为了调查抖音平台某直播间带货服务的满意程度，现随机调查了年龄在20岁至70岁的100人，他们年龄的频数分布和“满意”的人数如下表（其中）： 年龄/岁 [20，30） [30，40） [40，50） [50，60） [60，70] 频数 15 25 30 20 10 满意 13 a 27 16 b （1）从[60，70]段中随机抽取一人“满意”概率为0.4，若以频率估计概率，以上表的样本据来估计总体，求从全国玩抖音的市民（假设年龄均在20岁至70岁）中随机抽取一人是“满意”的概率 （2）根据（1）数据，填写下面的2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为年龄低于岁的人和年龄不低于50岁的人对服务态度有差异； 年龄低于50岁的人数 年龄不低于50岁的人数 合计 满意 不满意 合计 附：，其中． 0.10 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 19. 如图，四棱锥P-ABCD中，，，． （1）证明：平面平面PAC； （2）若，求点D到平面PBC的距离． 2