2023年中考数学专题——相似三角形与圆的综合

2023年中考数学专题——相似三角形与圆的综合 一、综合题 1.如图,点D在以AB为直径的⊙O上,AD平分 , ,过点B作⊙O的切线交AD的延长线于点E. (1)求证:直线CD是⊙O的切线. (2)求证: . 2.如图,在 中,点 为 的中点,弦 、 互相垂直,垂足为 , 分别与 、 相交于点 、 ,连接 、 。 (1)求证: ∽ 。 (2)求证: 为 的中点。 (3)若 的半径为8, 的度数为 ,求线段 的长。 3.如图,⊙O经过△ABC的顶点A、C,并与AB边相交于点D,过点D作DF//BC,交AC于点E,交⊙O于点F,连接DC,点C为弧DF的中点. (1)求证:BC为⊙O的切线; (2)若⊙O的半径为3,,求的值; (3)在(2)的条件下,连接AF,若,求AD的长. 4.如图,△ABC内接于⊙O,AB为⊙O的直径,AB=10,AC=6,连接OC,弦AD分别交OC,BC于点E,F,其中点E是AD的中点. (1)求证:∠CAD=∠CBA. (2)求OE的长. 5.如图,AB是⊙O的直径,C,D是⊙O上的点,且 ,AD分别与BC,OC相交于点E,F. (1)求证:CB平分∠ABD; (2)若AB=8,AD=6,求CF的长. 6.如图,⊙O中的弦AC、BD相交于点E. (1)求证:AE•CE=BE•DE; (2)若AE=4,CE=3,BD=8,求线段BE的长. 7. 如图,在 中,以为直径的交于点D,与的延长线交于点的切线与垂直,垂足为F. (1)求证:. (2)若,求的半径. 8.如图,在圆O中,弦AB的垂直平分线OE分别交弦AB于点N、交弦BG于点D;OE交圆O于点C、F,连接OG,OB,圆O的半径为r. (1)若∠AGB=60°,r=2,求弦AB的长; (2)证明:∠E=∠OBD; (3)若D是CO中点,求EF的长(用r的代数式表示). 9.已知:如图,四边形ABCD内接于圆,延长AD、BC相交于点E,点F是BD的延长线上的点,且DE平分∠CDF. (1)求证:AB=AC; (2)若AC=5cm,AD=3cm,求DE的长. 10.如图,AD是⊙O的直径,AB为⊙O的弦,OP⊥AD,OP与AB的延长线交于点P,过B点的切线交OP于点C. (1)求证:∠CBP=∠ADB; (2)若OA=4,AB=2,求线段BP的长. 11.如图,以△ABC的边AB为直径作⊙O,分别交AC,BC两边于点D,E,连结ED,且ED=EC. (1)求证:AB=AC. (2)若AB=4,BC= ,求CD的长. 12.已知在中,,以AB为直径的⊙O分别交AC于D,BC于E,连接ED. (1)求证:; (2)若CD=,,求AB的长. 13.如图,⊙O是△ABC的外接圆,且AB=AC,点D在弧BC上运动,过点D作DE∥BC,DE交AB的延长线于点E,连接AD、BD. (1)求证:∠ADB=∠E; (2)当AB=6,BE=3时,求AD的长. 14.如图,AB为⊙O的直径,点C在⊙O上,延长BC至点D,使DC=CB,延长DA与⊙O的交点为E,连结AC,BE. (1)求证:∠ABC=∠D. (2)若AE=3,DB=4 ,求BE的长. 15.如图,已知AB为圆O的直径,弦CD与直径AB交于点E,AC=CD,连结CO并延长交弦AD于点F,连结AC,BC,BD,AB=10,BE=2. (1)求BD的长; (2)求AF的长; (3)求△ABC的面积. 16.已知:如图,点A,B,C三点在⊙O上,AE平分∠BAC,交⊙O于点E,交BC于点D,过点E作直线l∥BC,连结BE. (1)求证:直线l是⊙O的切线;. (2)如果∠BAC=60°,AB=6,AC=8,求AE的长. 17.如图,已知AB是⊙O的直径,锐角∠DAB的平分线AC交⊙O于点C,作CD⊥AD,垂足为D,直线CD与AB的延长线交于点E. (1)求证:直线CD为⊙O的切线; (2)当AB=2BE,且CE=时,求AD的长. 18.已知:如图,AC⊙O是的直径,BC是⊙O的弦,点P是⊙O外一点,∠PBA=∠C. (1)求证:PB是⊙O的切线; (2)若OP∥BC,且OP=8,BC=2.求⊙O的半径. 19.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为BC上一点,以AD为直径的⊙O经过点C,交AB于点E,且AC=AE,CF为⊙O的直径,连接FE并延长交BC于点G,连接AF。 (1)求证:四边形ADGF是平行四边形; (2)若AF:BC=3:8,BE=4,求⊙O的直径。 20.如图,四边形ABCD内接于⊙O,点E在CB的延长线上,BA平分∠EBD,AE=AB. (1)求证:AC=AD; (2)求证:△AEB∽△ACD; (3)当,AD=6时,求CD的长. 答案解析部分 1.【答案】(1)证明:连接OD, ∵AD平分 ,