北京市第五中学2020-2021学年高一下学期期中数学试题

2021北京五中高一(下)期中 数 学 一、选择题共10小题,每小题5分,共50分. 1.(5分) A. B. C. D. 2.(5分)如图,某沙漏由上、下两个圆锥组成,每个圆锥的底面直径为,现有体积为的细沙全部漏入下面的圆锥后,恰好堆成一个能盖住沙漏底部的圆锥形沙堆,则此圆锥形沙堆的高度为 A. B. C. D. 3.(5分)如图,在复平面内,复数,对应的向量分别是,,则复数对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.(5分)我国古代数学专著《九章算术》中有一衰分问题:今有北乡八千一百人,西乡七千四百八十八人,南乡六千九百一十二人.凡三乡,发役三百人,则北乡遣人几何?其意为:现在北乡人口为8100人,西乡人口为7488人,南乡人口为6912人.要从这三个乡镇抽取300人服役,则北乡应抽取多少人? A.104 B.108 C.112 D.120 5.(5分)“复平面内的点在虚轴上”是“复数是纯虚数”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 6.(5分)2020年5月我国抗击新冠肺炎疫情工作取得阶段性胜利,各地有序推进复工复产,下面是某地连续11天复工复产指数折线图,下列说法正确的是 A.这11天复工指数和复产指数均逐日增加 B.这11天期间,复产指数的极差大于复工指数的极差 C.第3天至第11天复工复产指数均超过 D.第9天至第11天复工指数的增量大于复产指数的增量 7.(5分)对于非零向量,,定义运算“”: ,其中为,的夹角.设,,为非零向量,则下列说法错误的是 A. B. C.若,则 D. 8.(5分)已知,是单位圆上(圆心在坐标原点任意一点,将射线绕点逆时针旋转到交单位圆于点,,则的最大值为 A.1 B.2 C. D. 9.(5分)如图,在长方体中,,,,动点在棱上,连接,,则的最小值为 A.3 B. C. D. 10.(5分)设函数,若存在的极值点满足,则的取值范围是 A.,, B.,, C.,, D.,, 二、填空题共5小题,每小题5分,共25分. 11.(5分)已知复数为虚数单位),则的虚部为 . 12.(5分)如图,△为水平放置的斜二测画法的直观图,且,,则的周长为 . 13.(5分)如图,为测得河对岸塔的高,先在河岸上选一点,使在塔底的正东方向上,测得点的仰角为,再由点沿北偏东方向走10米到位置,测得,则塔的高是 米. 14.(5分)某中学举行了一次“环保知识竞赛”,全校学生参加了这次竞赛.为了了解本次竞赛成绩情况,从中抽取了部分学生的成绩(得分取正整数,满分为100分)作为样本进行统计.若下面是尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图(如图所示),则样本容量为 ,的值为 . 组别 分组 频数 频率 第1组 , 8 0.16 第2组 , ▓ 第3组 , 20 0.40 第4组 , ▓ 0.08 第5组 , 2 合计 ▓ ▓ 15.(5分)如图,,点在由射线,线段及的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且,则的取值范围是 ;当时,的取值范围是 . 三、解答题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 16.(13分)已知. (Ⅰ)求的最小正周期及单调递减区间; (Ⅱ)求函数在区间上的最大值和最小值. 17.(13分)已知平面向量,,,且. (Ⅰ)求的最小值; (Ⅱ)若,求与的夹角. 18.(13分)中国共产党建党100周年华诞之际,某高校积极响应党和国家的号召,通过“增强防疫意识,激发爱国情怀”知识竞赛活动,来回顾中国共产党从成立到发展壮大的心路历程,表达对建党100周年以来的丰功伟绩的传颂.教务处为了解学生对相关知识的掌握情况,随机抽取了100名学生的竞赛成绩,并以此为样本绘制了如图样本频率分布直方图. (Ⅰ)求值并估计中位数所在区间; (Ⅱ)为了鼓励更多的学生参与学校活动,学校为100人中的人准备了纪念品,问本次活动得多少分以上的人可以拿到纪念品?(结果四舍五入保留整数) (Ⅲ)需要从参赛选手中选出6人代表学校参与省里的此类比赛,你认为怎么选最合理,并说明理由. 19.(13分)在中,,,分别是角,,的对边,并且. (Ⅰ)已知_,计算的面积; 请从①,②,③这三个条件中任选两个,将问题(Ⅰ)补充完整,并作答. (Ⅱ)求的最大值. 20.(13分)已知中,. (Ⅰ)求的大小; (Ⅱ)已知,,若、是边上的点,使,求当面积的最小时,的大小. 21.(10分)已知集合,,,,,,,2,,,对于,,,,,,,,定义与的差为,,,与之间的距离为. (Ⅰ)若,0,,,1,,求,; (Ⅱ)证明:对任意,,,有 (ⅰ),且,,; (ⅱ),,三个数中至少有一个是偶数; (Ⅲ)对于,,,,,,,,再定义一种与之间的运算,并写