北京市东城区2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题

2021北京东城高一（下）期末 数 学 一、选择题：共10小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．（3分）已知复数，则　　 A． B． C． D．0 2．（3分）若，都是单位向量，则下列结论一定正确的是　　 A． B． C． D． 3．（3分）由随机函数生成了在区间，内的随机数，则下列运算中能将对应到区间，的是　　) A． B． C． D． 4．（3分）在正方体各条棱所在的直线中，与直线异面且垂直的可以是　　 A． B． C． D． 5．（3分）某校组织全体学生参加了主题为“建党百年，薪火相传”的知识竞赛，随机抽取了200名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，下列说法正确的是　　 A．直方图中的值为0.004 B．在被抽取的学生中，成绩在区间，的学生数为10 C．估计全校学生的平均成绩不低于80分 D．估计全校学生成绩的样本数据的分位数约为93分 6．（3分）设向量，则“”是“”的　　 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（3分）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件： “点数为”，其中，2，3，4，5，6； “点数不大于2”， “点数不小于2”， “点数大于5”； “点数为奇数”， “点数为偶数”． 下列结论正确的是　　 A．与对立 B．与互斥 C． D． 8．（3分）将函数的图象向右平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的值可以为　　 A． B． C． D． 9．（3分）若直线平面，则下列结论一定成立的个数是　　 ①内的所有直线与异面； ②内存在唯一一条直线与相交； ③内存在直线与平行． A．0 B．1 C．2 D．3 10．（3分）一条河流的两岸平行，一艘船从河岸边的处出发到河对岸．已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为．设船行驶方向与水流方向的夹角为，若船的航程最短，则　　 A． B． C． D． 二、填空题：共6小题，每小题4分，共24分． 11．（4分）在复平面内，复数对应的点的坐标为 　　；　　． 12．（4分）已知某车企从今年开始投产了，，三种型号的新能源汽车，第一个月下线的台数依次为250，450，300，现用分层抽样的方法从中随机抽取20台车进行质量测试，则某一台型号的新能源汽车被抽取的概率为 　　． 13．（4分）在中，，，则　　． 14．（4分）已知中弦，则　　． 15．（4分）已知，是平面，是直线，从下列五个条件中选择若干个作为已知条件，能够得到的是 　　．（填入条件的序号即可） ①；②；③；④；⑤． 16．（4分）用一张纸围绕半径为的石膏圆柱体包裹若干圈，然后用裁纸刀将圆柱体切为两段，如图①所示．设圆柱体母线与截面的夹角为，如图②．将其中一段圆柱体外包裹的纸展开铺平，如果忽略纸的厚度造成的误差，我们会发现剪裁边缘形成的曲线是正弦型曲线，如图③．建立适当的坐标系后，这条曲线的解析式可设为，，若的最小正周期为，则　　，此时，当　　时，可使的值域为． 三、解答题：共5小题，共46分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17．（9分）已知，，，，． （1）求及的值； （2）求的值． 18．（9分）为开阔学生视野，丰富学生的数学学习方式，某高校数学学院学生会创办了微信公众号《数学乐园》，设定了“数学史料”“趣题妙解”等栏目，定期发布文章．为了扩大微信公众号的影响力，后台统计了反映读者阅读情况的一些数据，其中阅读跳转率记录了在阅读某文章的所有读者中，阅读至该篇文章总量的时退出该页面的读者占阅读此文章所有读者的百分比．例如：阅读跳转率表示阅读某篇文章的所有读者中，阅读量至该篇文章总量的时退出该页面的读者占阅读此篇文章的所有读者的．现从“数学史料”“趣题妙解”专栏中各随机选取一篇文章．分别记为篇目，，其阅读跳转率的折线图如图所示．用频率来估计概率． （1）随机选取一名篇目的读者，估计他退出页面时阅读量大于文章总量的的概率； （2）现用比例分配的分层随机抽样的方法，在阅读量没有达到的篇目的读者中抽取6人，任选其中2人进行访谈，求这两人退出页面时阅读量都为文章总量的的概率； （3）请依据图中的数据，比较篇目和篇目的阅读情况，写出一个结论，并选择其中一个栏目提出你的优化建议． 19．（9分）水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具，工作示意图如图所示．设水车（即圆周）的直径为3米，其中心（即圆心）到水面的距离为1.2米，逆时针匀速旋转一圈的时间是80秒．水车边缘上一点距水面的高度为（单位；米），水车逆时针旋转时间为（单位：秒）．当点在水面上时高度记为正值；当点旋转到水面以下时，点距水