江西省吉安市2023届高三上学期1月期末质量检测数学（理）试题

吉安市高三上学期期末教学质量检测2023.1 数学试题（理科） （测试时间：120分钟 卷面总分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号悇黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 在中，，为的中点，，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 4. 某城市有一个面积为的矩形广场，该广场为黄金矩形（它的宽与长的比为），现在在中央设计一个矩形草坪，四周是等宽的步行道，能否设计恰当的步行道的宽度使矩形草坪为黄金矩形？则下列选项正确的是（ ） A. 步行道的宽度 B. 步行道的宽度 C. 步行道宽度 D. 草坪不可能为黄金矩形 5. 若，满足约束条件，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图是直角边长分别为2和4的两个全等的直角三角形.则这个几何体的外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，，若直线关于的对称直线与圆：交于，两点，则的最小值为（ ） A B. C. D. 8. 中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京召开，10月17日各代表团分组讨论党的二十大报告．某媒体5名记者到甲、乙、丙3个小组进行宣传报道，每名记者只去1个小组，每个小组最多两名记者，若记者不去甲组，则不同的安排方法共有（ ） A. 15种 B. 30种 C. 60种 D. 90种 9. 记的内角，，的对边分别为，，，已知.则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 10. 已知实数，满足，，且，则的最大值为（ ） A. 10 B. 8 C. 4 D. 2 11. 已知函数及其导函数的定义域均为R都为连续函数，记，若，均为奇函数，设，为图象上的不同两点.，为图象上的不同两点，其中，，，，且在上单调，若，，则（ ） A. 0 B. 5 C. 10 D. 20 12. 椭圆的两个焦点为，，以的短轴为直径的圆记为，过作圆的切线与交于，两点，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 某校第一次模拟考试的数学成绩近似地服从正态分布，若，则_______. 14. 记函数（）的最小正周期为，且的图象关于对称，当取最小值时，_______. 15. 过抛物线：准线上的点作的两条切线，切点分别为，，则_______. 16. 已知函数，，函数的图象在点和点处的两条切线互相垂直，且分別交轴于，两点，则的取值范围是_______. 三、解答题：共70分.解答应写出说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17. 设等差数列的前项和为，，数列为等比数列，其中，，. （1）求，的通项公式； （2）若，求的前项和. 18. 如图，在四棱锥中，，，. （1）证明：平面平面； （2）若，求点到平面的距离. 19. 为了调查抖音平台某直播间带货服务满意程度，现随机调查了年龄在20岁至70岁的100人，他们年龄的频数分布和“满意”的人数如下表： 年龄/岁 频数 15 25 30 20 10 满意 13 20 27 16 4 （1）根据上述统计数据填下面的列联表，并判断是否有95%的把握认为年龄低于50岁的人和年龄不低于50岁的人对服务态度有差异； 年龄低于50岁的人数 年龄不低于50岁的人数 合计 满意 不满意 合计 （2）若以频率估计概率，以100人的样本数据来估计全国玩抖音的市民（假设年龄均在20岁至70岁）的总体数据，若从在全国范围内任选5人，记表示抽到“满意”的人数，求的分布列与数学期望. 附：，其中. 0.10 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 20. 已知双曲线：（，）与双曲线的渐近线相同，点在上，为的右焦点． （1）求的方程； （2）已知是直线：上的任意一点，是否存在这样的直线，使得过点的直线与相切于点，且