专题04 平面向量的基本运算和应用-2023年新高考数学二轮热点突破与提分训练（新高考专用）

专题04平面向量的基本运算和应用 考点定位 1.以选择题、填空题的形式考查平面向量的数量积、夹角及模的运算，难度中低档 2.以选择题、填空题的形式考查平面向量的线性运算及其几何意义，难度中低档 热点突破 热点（一）平面向量的线性运算 1（单选）如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC上靠近点B的一个三等分点，那么等于(　　) A.－ B.＋ C.＋ D.－ 【解析】在△CEF中，有＝＋.因为点E为DC的中点，所以＝，因为点F为BC的一个三等分点，所以＝，所以＝＋＝＋＝－.故选D. 2（多选）在△ABC中，＝2，＝a，＝b，＝c，则下列等式不成立的是(　　) A．c＝2b－a B．c＝2a－b C．c＝－ D．c＝－ 【解析】因为在△ABC中，＝＋＝＋＝＋(－)＝－，所以c＝b－a.故选ABC。 3（填空）设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋＝ 【解析】＋＝(＋)＋(＋)＝(＋)＝ 4（解答）如图所示，在△ABO中，＝，＝，AD与BC相交于点M，设＝a，＝b.试用a和b表示向量. 【解析】∵A，M，D三点共线，∴＝λ1＋(1－λ1)＝λ1b＋(1－λ1)a，① ∵C，M，B三点共线，∴＝λ2＋(1－λ2)＝λ2b＋a，② 由①②可得 解得 故＝a＋b. 【归纳反思】 1.平面向量加减求解的关键是：对平面向量加法抓住“共起点”或“首尾相连”；对平面向量减法抓住“共起点，连两终点，指向被减向量的终点”，再观察图形对向量进行等价转化.　 2.在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作一个字母看待，其运算方法类似于代数中合并同类项的运算，在计算时可以进行类比. 3. 在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理恰当地选取基底，变形要有方向，不能盲目转化. 热点（二）平面向量的数量积 1（单选）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则·的值为(　　) A．－ B. C. D. 【解析】(1)如图，由条件可知＝－， ＝＋＝＋＝＋，所以·＝(－)·(＋) ＝2－·－2.因为△ABC是边长为1的等边三角形，所以||＝||＝1，∠BAC＝60°，所以·＝－－＝.故选B。 2（多选）下列说法正确的有（ ） A. 已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cos α＝，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cos β＝ B. 已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cos α＝，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cos β＝ C. 若向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是 D. 若向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是 【解析】因为a2＝(3e1－2e2)2＝9－2×3×2×12×cos α＋4＝9，所以|a|＝3，因为b2＝(3e1－e2)2＝9－2×3×1×12×cos α＋1＝8，所以|b|＝2，a·b＝(3e1－2e2)·(3e1－e2)＝9e－9e1·e2＋2e＝9－9×1×1×＋2＝8，所以cos β＝＝＝.A错误，B正确；∵2a－3b与c的夹角为钝角，∴(2a－3b)·c＜0，即(2k－3，－6)·(2,1)＜0，∴4k－6－6＜0，∴k＜3.又若(2a－3b)∥c，则2k－3＝－12，即k＝－.当k＝－时，2a－3b＝(－12，－6)＝－6c，即2a－3b与c反向．综上，k的取值范围为∪.C正确，D错误。故选BC。 3（填空）在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°.点E和F分别在线段BC和DC上，且＝，＝，则·的值为________． 【解析】在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝2，BC＝1， ∠ABC＝60°，∴CD＝1，＝＋＝＋，＝＋＝＋， ∴·＝·＝·＋·＋·＋·＝2×1×cos 60°＋2×＋×12×cos 60°＋××12×cos 120°＝. 4（解答）在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝，n＝(sin x，cos x)，x∈. (1)若m⊥n，求tan x的值； (2)若m与n的夹角为，求x的值． 【解析】(1)因为m＝，n＝(sin x，cos x)，m⊥n.所以m·n＝0，即sin x－cos x＝0，所以sin x＝cos x，所以tan x＝1. (2)因为|m|＝|n|＝1，所以m·n＝cos＝，即sin x－cos x＝，所以sin＝，因为0<x<，所以－<x－<，所以x－＝，即x＝. 【归纳反思】 1.数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义、坐标运算和数量积