专题03 三角中的最值、范围问题-2023年新高考数学二轮热点突破与提分训练（新高考专用）

专题03三角中的最值、范围问题 考点定位 以三角函数、三角形为背景的最值及范围问题是高考的热点，常用的方法主要有：函数的性质(如有界性、单调性)、基本不等式、数形结合等 热点突破 热点（一）三角函数的最值或范围 1（单选）已知函数f(x)＝sincos－sin2.求f(x)在区间[－π，0]上的最小值（ ） A. － B. C. －1－ D. －1+ 【解析】由－π≤x≤0，可得－≤x＋≤，即有－1≤sin≤，则当x＝－时，sin取得最小值－1，f(x)在区间[－π，0]上的最小值为－1－.故选C。 2（多选）设f(x)＝sinxcosx－cos2，下列说法正确的有（ ） A.函数f(x)的单调递增区间是 (k∈Z)；单调递减区间是(k∈Z)． B.函数f(x)的单调递增区间是 (k∈Z)；单调递减区间是(k∈Z)． C.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若f＝0，a＝1，△ABC面积的最大值为 D. 在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若f＝0，a＝1，△ABC面积的最大值为 【解析】由题意知f(x)＝－＝－＝sin2x－.由－＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，可得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z；由＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，可得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.∴函数f(x)的单调递增区间是 (k∈Z)；单调递减区间是(k∈Z)．A正确，B错误；由f＝sinA－＝0，得sinA＝，由题意知A为锐角，∴cosA＝.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，可得1＋bc＝b2＋c2≥2bc，即bc≤2＋，当且仅当b＝c时等号成立．∴S△ABC＝bcsinA≤.∴△ABC面积的最大值为，C正确，D错误。故选AC。 3（填空）在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是________． 【解析】如图，作△PBC，使∠B＝∠C＝75°，BC＝2，作直线AD分别交线段PB，PC于A，D两点(不与端点重合)，且使∠BAD＝75°，则四边形ABCD就是符合题意的四边形．过C作AD的平行线交PB于点Q，在△PBC中，可求得PB＝＋，在△QBC中，可求得BQ＝－，∴AB的取值范围是(－，＋)．故填(－，＋)． 4（解答）已知函数f(x)＝2sin xcos x－2cos2x＋. (1)求f的值； (2)求f(x)在区间上的最大值和最小值. 【解析】(1)因为f(x)＝2sin xcos x－2cos2x＋＝sin 2x－cos 2x＝2sin， 所以f＝2sin＝2sin ＝1. (2)因为x∈，所以2x－∈，所以sin∈， 所以，当2x－＝，即x＝时，f(x)取到最大值2； 当2x－＝－，即x＝0时，f(x)取到最小值－. 【归纳反思】 1.求三角函数式的最值或范围问题，首先把函数式化为一个角的同名三角函数形式，接着利用三角函数的有界性或单调性求解.　 2.求三角函数式的最值范围问题要注意：把三角函数式正确地化简成单一函数形式，根据所给自变量的范围正确地确定ωx＋φ的范围，从而根据三角函数的单调性求范围. 热点（二）与三角函数性质有关的参数范围 1（单选）若函数f(x)＝sin(ω>0)在上的值域是，则ω的取值范围是(　　) A. B. C. D. 【解析】因为ω>0，所以当x∈时，ωx－∈.又因为函数f(x)＝sin(ω>0)在x∈上的值域是，所以≤－≤，解得≤ω≤3.故选B. 2（多选）) 则下列ω的值中能使函数f(x)＝cos ωx－sin ωx(ω>0)在[0，π]内的值域为的有 (　　) A. B. 1 C. D. 【解析】f(x)＝cos ωx－sin ωx＝cos(ω>0)，当x∈[0，π]时，≤ωx＋≤ωπ＋.又f(x)∈，所以π≤ωπ＋≤，解得≤ω≤，所以ω的取值范围为。故选ABC。 3（填空）已知f(x)＝sin(2x－φ)在上是增函数，且f(x)在上有最小值，那么φ的取值范围是 【解析】由x∈，得2x－φ∈，又由0<φ<，且f(x)在上是增函数，可得－φ≤，所以≤φ<.当x∈时，2x－φ∈，由f(x)在上有最小值，可得－φ>，则φ<.综上，≤φ< 4（解答）将函数f(x)＝sin4x＋cos4x的图象向左平移个单位长度后，得到g(x)的图象，若函数y＝g(ωx)在上单调递减，求正数ω的最大值。 【解析】依题意，f(x)＝＋＝＝， 其图象向左平移个单位长度得到g(x)＝＋cos＝＋cos ＝－sin 4x的图象，故g(ωx)＝－sin(4ωx).令－＋2kπ≤4ωx≤＋2kπ，k∈Z， 由于ω>0，得≤x≤，k∈Z.由于函数g(ωx)在上单调递减， 故解得所以当k＝0时，ω＝为正数