专题02 三角恒等变换与解三角形-2023年新高考数学二轮热点突破与提分训练（新高考专用）

专题02三角恒等变换与解三角形 考点定位 1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中同角三角函数的基本关系、诱导公式是解决计算问题的工具 2.三角恒等变换是利用三角恒等式(两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式)进行变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心 3.正弦定理与余弦定理以及解三角形是高考的必考内容，主要考查边、角、面积、周长等的计算 热点突破 热点（一）化简与求值(角) 1（单选）tan70°＋tan50°－tan70°tan50°的值等于(　　) A. B. C．－ D．－ 【解析】∵tan120°＝＝－，∴tan70°＋tan50°－tan70°·tan50°＝－.故选D. 2（多选）下列说法正确的有（ ） A. 已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝，则cos 2α＝－ B. 已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝，则cos 2α＝ C. 已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，则β＝ D. 已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，则β＝ 【解析】sin α＋cos α＝，两边平方得(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝， 整理得：2sin αcos α＝－<0，∴(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝.∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0，即cos α－sin α<0，∴cos α－sin α＝－.则cos 2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝－，A正确，B错误；由cos α＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，得sin α＝＝，sin(α－β)＝＝.∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝×＋×＝.∴β＝.C正确，D错误。故选AC。 3（填空）已知α，β为锐角，sinα＝，cos(α－β)＝，则cosβ的值为________． 【解析】∵sinα＝<，α∈，∴0<α<.∵cos＝<，α－β∈，0＜β＜，∴－<α－β<0.∴cosα＝＝＝.sin(α－β)＝－＝－＝－.∴cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝×＋×＝.故填. 4（解答）已知sinα＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，求角β。 【解析】∵α，β均为锐角，∴－＜α－β＜.又sin(α－β)＝－，∴cos(α－β)＝.又sinα＝，∴cosα＝.∴sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝×－×＝，β＝. 【归纳反思】 1.同角三角函数的基本关系：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α. 2.诱导公式的记忆口诀：在＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”. 3.熟记三角函数公式的两类变形：(1)和差角公式的变形；(2)倍角公式的变形.　 4.解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示. 5.求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解. 热点（二）三角函数恒等式的证明 1（单选）若tanα＝3，则的值等于(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 【解析】＝＝2tanα＝2×3＝6.故选D. 2（多选）已知α，β∈，且sin(α＋2β)＝sin α，则下列说法正确的有（ ） A. tan(α＋β)＝6tanα B. tan(α＋β)＝6tan β C.若tan α＝3tan β，则α＝ D. 若tan α＝3tan β，则α＝ 【解析】因为sin(α＋2β)＝sin α，所以sin[(α＋β)＋β]＝sin[(α＋β)－β]， 所以sin(α＋β)cos β＋cos(α＋β)sin β＝[sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β]， 所以sin(α＋β)cos β＝6cos(α＋β)sin β.①因为α，β∈，所以α＋β∈(0，π). 若cos(α＋β)＝0，则由①得sin(α＋β)＝0，与α＋β∈(0，π)矛盾，所以cos(α＋β)≠0.又β∈，所以cos β≠0.由①两边同除以cos(α＋β)·cos β，得tan(α＋β)＝6tan β.A错误，B正确；由前面知tan(α＋β)＝6tan β，则＝6tan β， 因为tan α＝3tan β，所以tan β＝tan α，所以＝2tan α.因为α∈，所以tan α＞0，所以＝2，所以tan2α＝1.因为α∈，所以tan α＝1，从而α＝.C正确，D错误。故选BC。 3（填空）求的值 【解析】原式＝＝＝tan30°＝. 4（解答）求证：sin2αsin2β＋cos2αcos2β－c