专题01 三角函数的图象与性质-2023年新高考数学二轮热点突破与提分训练（新高考专用）

专题01 三角函数的图象与性质 考点定位 三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容，主要从以下两个方面进行考查： 1.三角函数的图象，主要涉及图象变换问题以及由图象确定解析式，主要以选择题、填空题的形式考查 2.利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，主要以客观题或作为解答题其中一问考查 热点突破 热点（一）三角函数的图象变换 1（单选）如图是函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<)在区间上的图象，将该图象向右平移m(m＞0)个单位后，所得图象关于直线x＝对称，则m的最小值为(　　) A. B. C. D. 【解析】令f(x)＝sin(ωx＋φ)，由三角函数图象知，T＝＋＝π，ω＝＝2.∵函数f(x)过点，且0＜φ＜，∴－×2＋φ＝0，得φ＝，∴f(x)＝sin.将该函数图象向右平移m个单位后，得g(x)＝sin，∵函数g(x)的图象关于直线x＝对称，∴2×＋－2m＝＋kπ(k∈Z)，解得m＝－(k∈Z)，又m＞0，∴m的最小值为.故选B. 2（多选）把函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把所得函数图象向左平移个单位，下列说法错误的是(　　) A．得到的函数图象的解析式是y＝cos 2x B．得到的函数图象的解析式是y＝－sin 2x C．得到的函数图象的解析式是y＝sin(2x－) D．得到的函数图象的解析式是y＝sin(2x＋) 【解析】由y＝sin x图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，所得图象的解析式为y＝sin 2x，再向左平移个单位得y＝sin2(x＋)，即y＝cos 2x.故选BCD。 3（填空）为得到函数y＝cos的图象，只需将函数y＝sin2x的图象向左平移________个单位长度(填最小正值)． 【解析】函数y＝cos＝sin＝sin2，∴只需将函数y＝sin2x的图象向左平移个单位．故填 . 4（解答）说明由函数y＝sinx的图象经过怎样的变换就能得到下列函数的图象． (1)y＝sin； (2)y＝sin； (3)y＝； (4)y＝sin. 【解析】(1)将y＝sinx的图象向左平移个单位长度，得到y＝sin的图象． (2)解法一：将y＝sinx的图象向右平移π个单位长度，得到y＝sin的图象，再把y＝sin图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，就得到y＝sin的图象． 解法二：先把y＝sinx的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到y＝sin2x的图象，再将y＝sin2x的图象向右平移个单位长度，就得到y＝sin的图象． (3)将y＝sinx的图象的x轴下方部分翻折到x轴上方，去掉x轴下方图象，即可得到y＝的图象． (4)先去掉y轴左边的y＝sinx的图象，再将y轴右边的图象翻折到y轴左边，保留y轴右边的图象，即可得到y＝sin的图象． 【归纳反思】 1.沿x轴平移：由y＝f(x)变为y＝f(x＋φ)时，“左加右减”，即φ>0，左移；φ<0，右移.沿y轴平移：由y＝f(x)变为y＝f(x)＋k时，“上加下减”，即k>0，上移；k<0，下移. 2.沿x轴伸缩：若ω>0，A>0，由y＝f(x)变为y＝f(ωx)时，点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍.沿y轴伸缩：由y＝f(x)变为y＝Af(x)时，点的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍.　 3. 在图象变换中务必分清是先平移，还是先伸缩，变换只是相对其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向. 热点（二）三角函数的图象与解析式 1（单选）已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ) (ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，则y＝f(x＋)取得最小值时x的集合为(　　) A．{x|x＝kπ－，k∈Z} B．{x|x＝kπ－，k∈Z} C．{x|x＝2kπ－，k∈Z} D．{x|x＝2kπ－，k∈Z} 【解析】根据所给图象，周期T＝4×(－)＝π，故π＝，∴ω＝2，因此f(x)＝sin(2x＋φ)，另外图象经过点(，0)，代入有2×＋φ＝kπ(k∈Z)，再由|φ|<，得φ＝－，∴f(x＋)＝sin(2x＋)，当2x＋＝－＋2kπ (k∈Z)，即x＝－＋kπ(k∈Z)时，y＝f(x＋)取得最小值． 2（多选）已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，|φ|<，ω>0)的图象的一部分如图所示． 下列说法正确的有（ ） A. f(x)的表达式为f(x)＝2sin(2x＋) B. f(x)的表达式为f(x)＝2sin(2x＋) C. f(x)的对称轴方程为x＝＋(k∈Z) D. f(x)的对称轴方程为x＝＋ (k∈Z) 【解析】观察图象可知A＝2且点(0,1)在