专题05 与平面向量有关的最值、范围问题-2023年新高考数学二轮热点突破与提分训练（新高考专用）

专题05与平面向量有关的最值、范围问题 考点定位 与平面向量有关的最值问题在高考中经常出现，多以小题形式考查，难度中档.主要考查向量模、夹角、数量积、系数的最值或范围 热点突破 热点（一）向量模的最值、范围 1（单选）已知单位向量a，b满足|a－b|＋2a·b＝0，则|ta＋b|(t∈R)的最小值为(　　) A. B. C. D. 【解析】由|a－b|＋2a·b＝0，得|a－b|＝－2a·b，两边平方，得a2－2a·b＋b2＝12(a·b)2，即6(a·b)2＋a·b－1＝0，解得a·b＝－或a·b＝.因为|a－b|＝－2a·b≥0，所以a·b≤0，所以a·b＝－，所以|ta＋b|＝＝ ＝＝≥.故选B。 2（多选）在△ABC中，若A＝120°，·＝－1，关于||的最小值说法错误的是(　　) A. B．2 C. D．6 【解析】∵·＝－1，∴||·||·cos 120°＝－1，即||·||＝2，∴||2＝|－|2＝2－2·＋2≥2||·||－2·＝6，∴||min＝.故选ABD。 3（填空）若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为 【解析】|a＋b－c|＝＝，由于a·b＝0，a，b，c为单位向量，所以上式＝，又由于(a－c)·(b－c)≤0，得(a＋b)·c≥c2＝1，所以|a＋b－c|＝≤1，故填1. 4（解答）已知向量a＝(sinθ，1)，b＝(1，cosθ)，－＜θ＜. (Ⅰ)若a⊥b，求θ (Ⅱ)求|a＋b|的最大值． 【解析】(Ⅰ)若a⊥b，则sinθ＋cosθ＝0，∵－＜θ＜，∴tanθ＝－1，∴θ＝－. (Ⅱ)由a＝(sinθ，1)，b＝(1，cosθ)，得a＋b＝(sinθ＋1，1＋cosθ)． ∴|a＋b|＝＝＝.当sin＝1时，|a＋b|取得最大值＝＝＋1.即当θ＝时，|a＋b|的最大值为＋1. 【归纳反思】 1.向量的模指的是有向线段的长度，可以利用坐标表示，也可以借助“形”，结合平面几何知识求解.如果直接求模不易，可以将向量用基底向量表示再求.　 2.模的范围或最值常见方法 (1)通过|a|2＝a2转化为实数问题； (2)数形结合； (3)坐标法. 热点（二）向量数量积的最值、范围 1（单选）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则·的取值范围是(　　) A.(－2，6) B.(－6，2) C.(－2，4) D.(－4，6) 【解析】法一　如图， 取A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，C(3，)，F(－1，).设P(x，y)，则＝(x，y)，＝(2，0)，且－1＜x＜3.所以·＝(x，y)·(2，0)＝2x∈(－2，6).故选A. 法二　·＝||·||·cos∠PAB＝2||cos∠PAB，又||cos∠PAB表示在方向上的投影，所以结合图形可知，当P与C重合时投影最大，当P与F重合时投影最小.又·＝2×2×cos 30°＝6，·＝2×2×cos 120°＝－2， 故当点P在正六边形ABCDEF内部运动时，·∈(－2，6)，故选A. 2（多选）在边长为1的正方形ABCD中，M为BC的中点，点E在线段AB上运动，则·可能的取值有（ ） A. B. 1 C. D. 3 【解析】将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中，设E(x，0)，0≤x≤1.又M，C(1，1)，所以＝，＝(1－x，1)，所以·＝·(1－x，1)＝(1－x)2＋.因为0≤x≤1，所以≤(1－x)2＋≤，即·的取值范围是.故选ABC。 3（填空）在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°.动点E和F分别在线段BC和DC上，且＝λ，＝，则·的最小值为________． 【解析】由题易知AD＝BC＝CD＝1，故·＝(＋)·(＋)＝(＋λ)·＝·＋λ·＋·＋·＝2×1×cos60°＋λ×1×1×cos60°＋×2×1＋×1×1×cos120°＝1＋＋－≥＋＝(当且仅当＝，即λ＝时等号成立)．故填. 4（解答）在矩形ABCD中，边AB、AD的长分别为2，1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足＝，求·的取值范围。 【解析】以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，因为AB＝2，AD＝1，所以A(0，0)，B(2，0)，C(2，1)，D(0，1)．设M(2，b)，N(x，1)(0≤x≤2)，根据题意，b＝，所以＝(x，1)，＝.所以·＝x＋1(0≤x≤2)，所以1≤x＋1≤4，即1≤·≤4. 【归纳反思】 1.数量积的表示一般有三种方法： (1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解； (2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解； (