专题03 动点问题中三角形、四边形的存在性问题-【聚焦压轴】2023届中考数学压轴大题专项突破

专题03 动点问题中三角形、四边形的存在性问题 几何动态问题包括几何动点问题、几何线动问题和面动问题，本专题重点探究动点问题，线动和面动问题，将在图形变换专题中进行探究。 几何动点问题的考查面比较多，但总体看以考查点在几何图形中运动时产生的线段的数量关系和位置关系，角度关系以及三角形、四边形的存在性居多。线段和角度问题会在其他专题中进行分析，在这里只讨论三角形和四边形的存在性问题。 在解决几何动点问题中的三角形和四边形存在性问题时，一般有以下几种情况： 1.等腰三角形存在性问题：在解等腰三角形存在性问题时，通常设出由动点的运动而处于不断变化的线段的长度为x，其次结合几何图形的性质用x表达出三角形的各个边长，利用等腰三角形的概念，有2条边相等的三角形是等腰三角形，进行分类讨论，找出等量关系，列出方程求解，在解出方程后注意要进行检验。 2.直角三角形存在性问题：在解直角三角形存在性问题时，通常设出由动点的运动而处于不断变化的线段的长度为x，其次结合几何图形的性质用x表达出三角形的各个边长，利用勾股定理的逆定理，同时进行分类讨论，找出等量关系，列出方程求解，在解出方程后注意要进行检验。 3.全等三角形存在性问题：在解全等三角形存在性问题时，通常设出由动点的运动而处于不断变化的线段的长度为x，其次求出或者用x表示出已知三角形的各边长，然后找出或者用x表示出动态三角形的各边长，最后利用全等三角形的判定定理，建立方程求解，在解出方程后注意要进行检验。 4.相似三角形存在性问题：在解相似三角形存在性问题时，通常设出由动点的运动而产生的处于不断变化的线段的长度为x，其次求出或者用x表示出已知三角形的各边长，然后找出或者用x表示出动态三角形的各边长，最后利用相似三角形的判定定理，建立方程求解，在解出方程后注意要进行检验。 5.平行四边形的存在性问题：在解平行四边形存在性问题时，通常设出由动点的运动而产生的处于不断变化的线段的长度为x，其次求出或者用x表示出平行四边形、矩形、菱形或正方形的其他各边的长度，最后利用平行四边形、矩形、菱形或正方形的判定定理，建立方程求解，在解出方程后注意要进行检验。 可见在解决此类问题时，关键是设出未知数x，并用x表示出各线段的长度，利用各几何图形的判定，列出方程进行求解，是此类题型的共性，但要注意，在解决此类问题时，要注意分类讨论。 （2022·山东枣庄·统考中考真题）已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒cm的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，设运动的时间为t秒． (1)如图①，若PQ⊥BC，求t的值； (2)如图②，将△PQC沿BC翻折至△P′QC，当t为何值时，四边形QPCP′为菱形？ （1）根据勾股定理求出，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可． （2）作于，于，证明出为直角三角形，进一步得出和为等腰直角三角形，再证明四边形为矩形，利用勾股定理在、中，结合四边形为菱形，建立等式进行求解． 【答案】(1)当t＝2时，PQ⊥BC (2)当t的值为时，四边形QPCP′为菱形 【详解】（1）解：（1）如图①， ∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝4cm， ∴AB＝＝（cm）， 由题意得，AP＝tcm，BQ＝tcm， 则BP＝（4﹣t）cm， ∵PQ⊥BC， ∴∠PQB＝90°， ∴∠PQB＝∠ACB， ∴PQAC， ， ， ∴＝， ∴， 解得：t＝2， ∴当t＝2时，PQ⊥BC． （2）解：作于，于，如图， ，， ，， 为直角三角形， ， 和为等腰直角三角形， ，， ， 四边形为矩形， ， ， ， 在中，， 在中，， 四边形为菱形， ， ， ，（舍去）． 的值为． 此题是相似形综合题，主要考查的是菱形的性质、等腰直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键． （2021·广西河池·统考中考真题）如图，在中，，，，D，E分别是AB，BC边上的动点，以BD为直径的交BC于点F． （1）当时，求证：； （2）当是等腰三角形且是直角三角形时，求AD的长． （1）根据BD是圆的直径，可以得到∠BFD=90°，即∠DFC=90°，然后利用“HL”证明△CAD≌△CFD即可； （2）因为三角形CED为等腰三角形，故每一条边都可能是底边，可以分三类讨论，由于三角形DEB是直角三角形，所以D和F都可以为直角的顶点，需要分两类讨论；当∠EDB=90°时，∠DEB＜90°，∠CED是钝角，所以此时只能构造EC=ED的等腰三角形，故取D点使CD平分∠ACB，作DE⊥AB交BC于E，可以证明DE=DC，且DE∥DC，得到△BDE∽△BAC即可求解；当∠AED=90°时，若三角形CED为等腰三角形，则