专题01 利用三角形全等和相似的性质进行求解的问题-【聚焦压轴】2023届中考数学压轴大题专项突破

专题01 利用三角形全等和相似的性质进行求解的问题 在几何压轴题中，全等三角形的性质和相似三角形的性质一般作为工具性质进行使用，用以帮助解决角度的相等问题或者线段的数量关系。 （1）在具体的压轴题中可以通过证明三角形全等或三角形相似，得到某两个角相等，再结合所求进行转化，从而得到我们想要的角度关系。 （2）压轴题中关于证明线段相等关系或者和差关系的证明时，一般通过三角形全等的性质，找出中间线段与所求线段的倍数关系，进行等量代换或者转化。 （3）压轴题中关于证明或探究线段之间的积关系或者比值关系时，一般利用三角形相似的性质进行转化，有时也会用到三角形全等的性质进行转化。 （2022·辽宁丹东·统考中考真题）已知矩形ABCD，点E为直线BD上的一个动点（点E不与点B重合），连接AE，以AE为一边构造矩形AEFG（A，E，F，G按逆时针方向排列），连接DG． (1)如图1，当＝＝1时，请直接写出线段BE与线段DG的数量关系与位置关系； (2)如图2，当＝＝2时，请猜想线段BE与线段DG的数量关系与位置关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，连接BG，EG，分别取线段BG，EG的中点M，N，连接MN，MD，ND，若AB＝，∠AEB＝45°，请直接写出△MND的面积． （1）证明△BAE≌△DAG，进一步得出结论； （2）证明BAE∽△DAG，进一步得出结论； （3）解斜三角形ABE，求得BE＝3，根据（2）可得DG＝6，从而得出三角形BEG的面积，可证得△MND≌△MNG，△MNG与△BEG的面积比等于1：4，进而求得结果． 【答案】(1)BE＝DG，BE⊥DG (2)BE＝，BE⊥DG，理由见解析 (3)S△MNG＝ 【详解】（1）解：由题意得：四边形ABCD和四边形AEFG是正方形， ∴AB＝AD，AE＝AG，∠BAD＝∠EAG＝90°， ∴∠BAD﹣∠DAE＝∠EAG﹣∠DAE， ∴∠BAE＝∠DAG， ∴△BAE≌△DAG（SAS）， ∴BE＝DG，∠ABE＝∠ADG， ∴∠ADG+∠ADB＝∠ABE+∠ADB＝90°， ∴∠BDG＝90°， ∴BE⊥DG； （2）BE＝，BE⊥DG，理由如下： 由（1）得：∠BAE＝∠DAG， ∵＝＝2， ∴△BAE∽△DAG， ∴，∠ABE＝∠ADG， ∴∠ADG+∠ADB＝∠ABE+∠ADB＝90°， ∴∠BDG＝90°， ∴BE⊥DG； （3）如图， 作AH⊥BD于H， ∵tan∠ABD＝， ∴设AH＝2x，BH＝x， 在Rt△ABH中， x2+（2x）2＝（）2， ∴BH＝1，AH＝2， 在Rt△AEH中， ∵tan∠ABE＝， ∴， ∴EH＝AH＝2， ∴BE＝BH+EH＝3， ∵BD＝＝5， ∴DE＝BD﹣BE＝5﹣3＝2， 由（2）得：，DG⊥BE， ∴DG＝2BE＝6， ∴S△BEG＝＝＝9， 在Rt△BDG和Rt△DEG中，点M是BG的中点，点N是CE的中点， ∴DM＝GM＝， ∵NM＝NM， ∴△DMN≌△GMN（SSS）， ∵MN是△BEG的中位线， ∴MNBE， ∴△BEG∽△MNG， ∴＝（）2＝， ∴S△MNG＝S△MNG＝S△BEG＝． 本题主要考查了正方形，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是类比的方法． （2022·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在中，，，点在直线上，连接，将绕点逆时针旋转，得到线段，连接，． (1)求证：； (2)当点在线段上（点不与点，重合）时，求的值； (3)过点作交于点，若，请直接写出的值． （1）作AH⊥BC于H，可得BH＝AB，BC＝2BH，进而得出结论； （2）证明△ABD∽△CBE，进而得出结果； （3）当点D在线段AC上时，作BF⊥AC，交CA的延长线于F，作AG⊥BD于G，设AB＝AC＝3a，则AD＝2a，解直角三角形BDF，求得BD的长，根据△DAG∽△DBF求得AQ，进而求得AN，进一步得出结果；当点D在AC的延长线上时，设AB＝AC＝2a，则AD＝4a，同样方法求得结果． 【答案】(1)证明见解析； (2) (3)或 【详解】（1）证明：如图1， 作AH⊥BC于H， ∵AB＝AB， ∴∠BAH＝∠CAH＝∠BAC＝×120°＝60°，BC＝2BH， ∴sin60°＝， ∴BH＝AB， ∴BC＝2BH＝AB； （2）解：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝， 由（1）得，， 同理可得， ∠DBE＝30°，， ∴∠ABC＝∠DBE，， ∴∠ABC−∠DBC＝∠DBE−∠DBC， ∴∠ABD＝∠CBE， ∴△ABD∽△CBE， ∴； （3）如图2， 当点D在线段AC上时， 作BF⊥AC，交CA的延长线于F，作AG⊥BD于G， 设AB＝AC＝3a，则AD