专题07 【大题限时练七】-备战2023年北京高考数学满分限时题集

专题07 大题限时练七 1．如图，在正三棱柱中，，为的中点，平面平面． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值． 2．已知数列的前项和为，在条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知． （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）设数列的前项和为．若对任意，不等式恒成立，求的最小值． 条件①：且； 条件②：； 条件③：． 3．值是国际上通行的宏观经济监测指标之一，能够反映经济的变化趋势．如图是国家统计局发布的某年12个月的制造业和非制造业值趋势图．将每连续3个月的值作为一个观测组，对国家经济活动进行监测和预测． （Ⅰ）现从制造业的10个观测组中任取一组， （ⅰ）求组内三个值至少有一个低于50.0的概率； （ⅱ）若当月的值大于上一个月的值，则称该月的经济向好．设表示抽取的观测组中经济向好的月份的个数（由已有数据知1月份的值低于去年12月份的值），求的分布列与数学期望； （Ⅱ）用，2，，表示第月非制造业所对应的值，表示非制造业12个月值的平均数，请直接写出取得最大值所对应的月份． 4．已知函数． （Ⅰ）当时，求曲线在点，处的切线方程； （Ⅱ）当时，求函数的单调区间； （Ⅲ）当时，恒成立，求的取值范围． 5．已知椭圆的离心率为，上下顶点分别为，，且．过点的直线与椭圆相交于不同的两点，（不与点，重合）． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）若直线与直线相交于点，求证：，，三点共线． 6．已知数列，给出两个性质： ①对于任意的，存在，当，时，都有成立； ②对于任意的，，存在，当，时，都有成立． （Ⅰ）已知数列满足性质①，且，，，试写出，的值； （Ⅱ）已知数列的通项公式为，证明：数列满足性质①； （Ⅲ）若数列满足性质①②，且当，，时，同时满足性质①②的存在且唯一．证明：数列是等差数列． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 大题限时练七 1．如图，在正三棱柱中，，为的中点，平面平面． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） 【详解】（Ⅰ）证明：连接，平面平面， 平面平面，平面平面， ． （Ⅱ）解：设， 以为坐标原点，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， ，0，，，，，，， 设平面的法向量为， ，， 联立方程， 解得：，， ， 同理求得平面的法向量， ， 平面与平面夹角的余弦值为． 2．已知数列的前项和为，在条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知． （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）设数列的前项和为．若对任意，不等式恒成立，求的最小值． 条件①：且； 条件②：； 条件③：． 【答案】见解析 【详解】（Ⅰ）选条件①：且时； 由于（常数）， 所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列； 所以，（首项符合通项）； 所以； 选条件②时：； 当时，， 当时，（首项符合通项）； 故所以； 选条件③时，， 当时，， 当时，， 时，整理得（常数）， 所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列； 所以，（首项符合通项）； 所以； （Ⅱ）由（Ⅰ）得：，所以； 故． 由于函数单调递增， 当时，， 所以的最小值为2． 3．值是国际上通行的宏观经济监测指标之一，能够反映经济的变化趋势．如图是国家统计局发布的某年12个月的制造业和非制造业值趋势图．将每连续3个月的值作为一个观测组，对国家经济活动进行监测和预测． （Ⅰ）现从制造业的10个观测组中任取一组， （ⅰ）求组内三个值至少有一个低于50.0的概率； （ⅱ）若当月的值大于上一个月的值，则称该月的经济向好．设表示抽取的观测组中经济向好的月份的个数（由已有数据知1月份的值低于去年12月份的值），求的分布列与数学期望； （Ⅱ）用，2，，表示第月非制造业所对应的值，表示非制造业12个月值的平均数，请直接写出取得最大值所对应的月份． 【答案】见解析 【详解】（Ⅰ）从制造业的10个观测组中任取一组的基本事件有： ，50.6，，，51.9，，，51.1，，，51，，，50.9，， ，50.4，，，50.1，，，49.6，，，49.2，，，50.1，，共有10个， 设“组内三个值至少有一个低于50.0”为事件，则事件包含的结果有： ，50.1，，，49.6，，，49.2，，，50.1，共4个， 由古典概型的计算公式，得； 的可能取值为0，1，2， ， 的分布列为： 0 1 2 所以随机变量的数学期望； （Ⅱ）8月份，理由如下： 由某年12个月的非制造业值趋势图中的数据，得 ， 根据某年12个月的非制造业值趋势图，可知 当时，取得最大值为． 4．已知函数． （Ⅰ）当时，求曲线在点，处的切线方程； （Ⅱ）当时，求函数的单调区间； （Ⅲ）当时，恒成立，求的取值范围． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）的单增区间为，；单减区间