第一章 命题点10&11 因式分解 分式及其运算（基础知识训练册）-【一战成名】2023山东中考数学考前新方案中考总复习

一战成名·山东数学 命题点１０　 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 毴 毴毴 毴 因式分解 ２０２２版课标要求 能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超过二次）进行因式分解（指数为正整数）． 要点归纳 １．因式分解：把一个多项式化成几个整式的　积　的形式． ２．基本方法 （１）提公因式法：ｍａ＋ｍｂ＋ｍｃ＝　ｍ（ａ＋ｂ＋ｃ）　． 公因式的确定： ①系数：取各项系数的　最大公约数　；②字母：取各项　相同　的字母；③指数：取各项 相同字母的　最低　次数． 如：多项式２ｍ＋４与多项式ｍ２＋４ｍ＋４的公因式是　ｍ＋２　． （２）公式法： ① ａ２－ｂ２＝　（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）　； ② ａ２＋２ａｂ＋ｂ２＝　（ａ＋ｂ）２　； ③ ａ２－２ａｂ＋ｂ２＝　（ａ－ｂ）２　． （３）拓展： ①十字相乘法：ｘ２＋（ａ＋ｂ）ｘ＋ａｂ＝（ｘ＋ａ）（ｘ＋ｂ）． 如：ｘ２＋５ｘ＋６＝ｘ２＋（２＋３）ｘ＋２×３＝（ｘ＋２）（ｘ＋３）； ②技巧性因式分解———分组分解法：一般项数≥３，此时需观察某两项或三项之间是否可 以利用提公因式、平方差公式或完全平方公式先进行因式分解，然后再与剩余项因式 分解． 如：ｘ２＋ｘｙ－ｙ－１＝（ｘ２－１）＋（ｘｙ－ｙ）＝（ｘ＋１）（ｘ－１）＋ｙ（ｘ－１）＝（ｘ－１）（ｘ＋ｙ＋１）． 注：ｘ２与ｘｙ有公因式ｘ，若此两项先分解因式，则后续不能再分解，所以优先分解的因 式也需要“智取”． ３．因式分解一般步骤 随堂练习 将下列式子进行因式分解： （１）ｘｙ－２ｙ２＝　ｙ（ｘ－２ｙ）　；　　　　　　　　　　（２）ｘ（ｘ－２）－ｘ＋２＝　（ｘ－２）（ｘ－１）　； （３）１６ａ２－８ａ＋１＝　（４ａ－１）２　； （４）９－ｘ２＝　（３＋ｘ）（３－ｘ）　； （５）ｍ３－ｎ２ｍ＝　ｍ（ｍ＋ｎ）（ｍ－ｎ）　； （６）ｘ３－２ｘ２ｙ＋ｘｙ２＝　ｘ（ｘ－ｙ）２　； （７）ｂ２＋ｃ２＋２ｂｃ－ａ２＝　（ｂ＋ｃ＋ａ）（ｂ＋ｃ－ａ）　； （８）ｘ２－ｘ－６＝　（ｘ－３）（ｘ＋２）　． ６１ 一战成名·山东数学 命题点１１　 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 分式及其运算 ２０２２版课标要求 了解分式和最简分式的概念，能利用分式的基本性质进行约分和通分；能对简单的分式进行加、减、乘、 除运算． 要点归纳 １．分式的概念：形如ＡＢ的代数式，其中Ａ，Ｂ都是整式且Ｂ中含有字母． ２．与分式有关的“三个条件” （１）分式ＡＢ有意义的条件是：　Ｂ≠０　； （２）分式ＡＢ值为０的条件是：　Ａ＝０且Ｂ≠０　； （３）使代数式ＡＢ÷ Ｄ Ｃ有意义的条件是：　Ｂ≠０，Ｃ≠０，Ｄ≠０　． ３．分式的基本性质：分式的分子和分母都乘（或除以）同一个不等于０的整式，分式的值不变． 即 ｂ ａ＝ ｂ·ｍ ａ·ｍ， ｂ ａ＝ ｂ÷ｍ ａ÷ｍ（ｍ≠０），由此可知 ｂ ａ＝ －ｂ －ａ＝－ －ｂ ａ＝－ ｂ －ａ． ４．约分与最简分式：把一个分式的分子和分母的　公因式　约去，叫作分式的约分．分子和分 母没有公因式的分式叫作最简分式． ５．分式的运算 （１）乘除法法则：ｂａ· ｄ ｃ＝　　　， ｂ ａ÷ ｄ ｃ＝ ｂ ａ·　　　＝　　　； 注：①如果分子或分母是多项式，应先进行因式分解；②结果应当是最简分式或整式． （２）加减法法则 ①同分母分式相加减：ｂａ± ｃ ａ＝ ｂ±ｃ ａ； ②异分母分式相加减：ｂａ± ｄ ｃ＝ ｂｃ ａｃ±　　　＝　　　． 通分与最简公分母：将异分母的分式化为同分母的分式的过程，叫作分式的通分． 通分时，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫作　最简公分母　． 如：① １ｘ－２与１的最简公分母是　ｘ－２　； ② １ｘ－１和 ２ｘ ｘ２－１ 的最简公分母是　（ｘ＋１）（ｘ－１）　； ③ １ ｘ２－４ 和 １ ｘ２－４ｘ＋４ 的最简公分母是　（ｘ＋２）（ｘ－２）２　． 注：若分子、分母是多项式，应先把分子、分母分解因式，然后确定最简公分母． ７１ 一战成名·山东数学 ６．分式化简求值 例 （２０２１泰安１９（１）题６分）先化简，再求值：（３ａ－１ａ＋１－ａ＋１）÷ ａ２－６ａ＋９ ａ＋１ ，其中ａ 槡＝３＋３． 答题规范： 解：原式＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　→通分，分子分母同乘最简公分母， 常数项应特别注意 ＝　　　　　 　　　　　　　　　　　　 　→除法变乘法 ＝