第一章 命题点9 整式及其运算（基础知识训练册）-【一战成名】2023山东中考数学考前新方案中考总复习

一战成名·山东数学 步骤二：观察易发现③中１２为约分后的值，观察分子规律为连续的奇数，则可得第 ｎ（ｎ≥１） 项的分子是　２ｎ－１　，将数字化为统一格式，将③中１２化为　　　　； 步骤三：分别观察序号与各项的分母：２，５，１０，１７，…；观察分母规律为项数的平方加１，则可 得第ｎ（ｎ≥１）个数的分母是ｎ２＋１，然后代入验证，则第ｎ（ｎ≥１）个数是　　　　． 例２（２０２０滨州１９题５分）观察下列各式：ａ１＝ ２ ３，ａ２＝ ３ ５，ａ３＝ １０ ７，ａ４＝ １５ ９，ａ５＝ ２６ １１，…，根据其中 的规律可得ａｎ＝　　　　　　（用含ｎ的式子表示）． 【点拨】观察分母易得第ｎ（ｎ≥１）项的分母是　２ｎ＋１　，难点在于确定第 ｎ（ｎ≥１）项的分 子，从２，３，１０，１５，２６，…这组数中很难轻易发现规律，尝试分为奇数项与偶数项分别观察，奇 数项２，１０，２６，…为项数的平方加１，类比可以发现偶数项３，１５，…为项数的平方减１，在分子 中１与－１交替出现，且奇数项为１，则第ｎ项中含有（－１）ｎ＋１，即第ｎ项的分子是　　　． 命题点９　 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 整式及其运算 ２０２２版课标要求 １．了解整数指数幂的意义和基本性质． ２．理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则；能进行简单的整式加减运算，能进行简单的整式 乘法运算（多项式乘法仅限于一次式之间和一次式与二次式的乘法）． ３．理解乘法公式（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）＝ａ２－ｂ２，（ａ±ｂ）２＝ａ２±２ａｂ＋ｂ２，了解公式的几何背景，能利用公式进 行简单的计算和推理． 要点归纳 １．整式的相关概念 （１）单项式：由数与　字母　的乘积组成的代数式，如ａ２ｂ，２ａ；单独一个数或一个字母也是单 项式，如６，ｘ． ①系数：单项式中的数字因数，如－ａ２ｂ的系数为　－１　，２ａ的系数为　２　； ②次数：所有字母的指数和，如２ａ的次数为　１　，ａ２ｂ的次数为　３　． （２）多项式：几个单项式的和，如１０ｘ＋ｙ，ａ２－１４ｂ． ①项：多项式中每一个单项式（连同前面的符号）叫作这个多项式的项，不含字母的项叫 作　常数项　，如多项式３ａ－１的项为　３ａ　和　－１　，其中　－１　是常数项； ３１ 一战成名·山东数学 ②次数：多项式里，次数　最高　的项的次数叫作多项式的次数，如 ａ２－１４ｂ的最高次项 为　ａ２　，是　二　次　二　项式． （３）整式：单项式和多项式统称为整式． ２．整式的运算 （１）整式的加减运算：实质是合并　同类项　． ①同类项：所含字母　相同　，并且　相同　字母的指数也相同的项，叫作同类项，常数项 都是同类项； ②合并同类项：把多项式中的同类项合并为一项，叫作合并同类项； ③去括号法则：ａ＋（ｂ＋ｃ）＝　ａ＋ｂ＋ｃ　，ａ－（ｂ＋ｃ）＝　ａ－ｂ－ｃ　．简记为“－”变“＋” 不变； ④加减运算可归纳为：先去括号，再合并同类项． （２）幂的运算 ①同底数幂相乘：底数　不变　，指数　相加　，如ａｍ·ａｎ＝　ａｍ＋ｎ　（ａ≠０，ｍ，ｎ为整数）； ②同底数幂相除：底数　不变　，指数　相减　，如ａｍ÷ａｎ＝　ａｍ－ｎ　（ａ≠０，ｍ，ｎ为整数）； ③幂的乘方：底数　不变　，指数　相乘　，如（ａｍ）ｎ＝　ａｍｎ　（ａ≠０，ｍ，ｎ为整数）； ④积的乘方：把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，如（ａｂ）ｎ＝　ａｎｂｎ　（ａｂ ≠０，ｎ为整数）． （３）整式的乘法运算 ①单项式乘单项式：把它们的系数、同底数幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为 积的因式，如２ａ３·３ａｂ２＝　６ａ４ｂ２　； ②单项式乘多项式（如图１）：ｍ（ａ＋ｂ）＝　ｍａ＋ｍｂ　； ③多项式乘多项式（如图２）：（ｍ＋ｎ）（ａ＋ｂ）＝　ｍａ＋ｍｂ＋ｎａ＋ｎｂ　． 图１ 　　　　 图２ （４）整式的除法运算 ①单项式除以单项式：把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式；对于只在被除式里含有 的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式，如３ｘ４ｙ÷ｘ３＝　３ｘｙ　； ②多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商相 加，如（ａｍ＋ｂｍ）÷ｍ＝　ａ＋ｂ　． ４１ 一战成名·山东数学 ３．乘法公式 （１）平方差公式：（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）＝ａ２－ｂ２ （２）完全平方公式：（ａ＋ｂ）２＝ａ２＋２ａｂ＋ｂ２，（ａ－ｂ）２＝ａ２－２ａｂ＋ｂ２ 注：数形结合理解乘法公式 ①由图１可得乘法公式：　（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）＝ａ２－ｂ２　； 图１ 　　　　 图２ 　　　　 图３ ②