知识必备10 圆（公式、定理、结论图表）-【口袋书】2023年中考数学必背知识手册

知识必备10圆（公式、定理、结论图表） 考点一、圆的有关概念 1. 圆的定义 如图所示，有两种定义方式： ①在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，以O为圆心的圆记作⊙O，线段OA叫做半径； ②圆是到定点的距离等于定长的点的集合． 要点诠释：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小． 2.与圆有关的概念 ①弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦；如上图所示线段AB，BC，AC都是弦． ②直径：经过圆心的弦叫做直径，如AC是⊙O的直径，直径是圆中最长的弦． ③弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，如曲线BC、BAC都是⊙O中的弧，分别记作，． ④半圆：圆中任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆，如是半圆． ⑤劣弧：像这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧． ⑥优弧：像这样大于半圆周的圆弧叫做优弧． ⑦同心圆：圆心相同，半径不相等的圆叫做同心圆． ⑧弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形． ⑨等圆：能够重合的两个圆叫做等圆． ⑩等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角，如上图中∠AOB，∠BOC是圆心角． 圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角，如上图中∠BAC、∠ACB都是圆周角． 要点诠释： 圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.圆外角度数等于它所夹弧的度数的差的一半. 圆内角度数等于它所夹弧的度数的和的一半. 典例1：（2022•西藏）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为C，OD∥AB，OC＝OD，则∠ABD的度数为（　　） A．90° B．95° C．100° D．105° 【分析】连接OB，则OC＝OB，由OC⊥AB，则∠OBC＝30°，再由OD∥AB，即可求出答案． 【解答】解：如图： 连接OB，则OB＝OD， ∵OC＝OD， ∴OC＝OB， ∵OC⊥AB， ∴∠OBC＝30°， ∵OD∥AB， ∴∠BOD＝∠OBC＝30°， ∴∠OBD＝∠ODB＝75°， ∠ABD＝30°+75°＝105°． 故选：D． 【点评】本题考查了圆，平行线的性质，解直角三角形，等腰三角形的有关知识；正确作出辅助线、利用圆的半径相等是解题的关键． 考点二、圆的有关性质 1.圆的对称性 圆是轴对称图形，经过圆心的直线都是它的对称轴，有无数条．圆是中心对称图形，圆心是对称中心，又是旋转对称图形，即旋转任意角度和自身重合． 2.垂径定理 ①垂直于弦的直径平分这条弦，且平分弦所对的两条弧． ②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．如图所示． 要点诠释：在图中(1)直径CD，(2)CD⊥AB，(3)AM＝MB，(4)，(5)．若上述5个条件有2个成立，则另外3个也成立．因此，垂径定理也称“五二三定理”．即知二推三． 注意：(1)(3)作条件时，应限制AB不能为直径． 3.弧、弦、圆心角之间的关系 ①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等； ②在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等． 4.圆周角定理及推论 ①圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． ②圆周角定理的推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 要点诠释：圆周角性质的前提是在同圆或等圆中． 典例2：（2022•宜昌）石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），隋代建造的赵州桥距今约有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表．如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为．桥的跨度（弧所对的弦长）AB＝26m，设所在圆的圆心为O，半径OC⊥AB，垂足为D．拱高（弧的中点到弦的距离）CD＝5m．连接OB． （1）直接判断AD与BD的数量关系； （2）求这座石拱桥主桥拱的半径（精确到1m）． 【分析】（1）根据垂径定理便可得出结论； （2）设主桥拱半径为R，在Rt△OBD中，根据勾股定理列出R的方程便可求得结果． 【解答】解：（1）∵OC⊥AB， ∴AD＝BD； （2）设主桥拱半径为R，由题意可知AB＝26，CD＝5， ∴BD＝AB＝13， OD＝OC﹣CD＝R﹣5， ∵∠ODB＝90°， ∴OD2+BD2＝OB2， ∴（R﹣5）2+132＝R2， 解得R＝19.4≈19， 答：这座石拱桥主桥拱的半径约为19m． 【点评】此题考查了垂径定理，勾股定理．此题难度不大，解题的关键是方程思想的应用． 典例3：（2022•六盘水）牂牁江“余月郎