专题1.2 二次根式的性质-【帮课堂】2022-2023学年八年级数学下册同步精品讲义（浙教版）

专题1.2 二次根式的性质 1.掌握二次根式的性质和二次根式的化简，熟悉最简二次根式的条件； 2.掌握二次根式与数轴、几何问题的综合，掌握复合二次根式的化简方法； 知识点01 利用二次根式的性质化简 【知识点】 1.二次根式的性质： （1） ， （双重非负性）． （2） （任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． 应用：在实数范围内分解因式： （3） （4） = · （a≥0，b≥0） （5） = （a≥0，b>0） 2.二次根式的化简： （1）二次根式化简的步骤： ①把被开方数分解因式； ②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来； ③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，所得结果为最简二次根式或整式． （2）最简二次根式的条件： 被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【典型例题】 例1．化简 的结果是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式有意义的条件得出 ，进而可得 ，然后根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ， 故选：A. 【点睛】本题考查了二次根式的性质，二次根式有意义的条件，掌握二次根式的性质是解题的关键． 例2．已知 ，则 的值为（   ）． A．22 B．20 C．18 D．16 【答案】A 【分析】直接利用二次根式的性质将已知化简，再将原式变形求出答案． 【详解】解：解：∵ 一定有意义， ∴ ， ∴ ， ， 整理得： ， ∴ ， 则 ． 故答案为：22． 【点睛】本题考查二次根式有意义的应用，以及二次根式的性质应用，解题的关键是正确化简二次根式． 例3．已知 ，则当 ______时， 的最大值=________． 【答案】          【分析】首先根据 ，当 时， 取最大值，进而求出结果． 【详解】 EMBED Equation.DSMT4 当 时，即： ， 时， 取最大值， 当 时， ． 故答案为： ， ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式大于或等于0是解本题的关键． 【即学即练】 1．已知 ，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式的性质可得， ， ，求解即可． 【详解】解：由二次根式的双重非负性可得， ， 解得 且 ∴ 故选：A 【点睛】此题考查了二次根式的双重非负性，解题的关键是掌握二次根式的双重非负性，正确列出不等式． 2．化简 的结果为（　　） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，判断 的符号，再根据二次根式的定义进行化简即可． 【详解】解：∵ 有意义， ∴ ， ， ∴ ，则 ， ∴ ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，以及二次根式的化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的定义，根据定义进行化简． 3．已知 ，则 的值为（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】C 【分析】根据二次根式有意义的条件求出 的值，然后代入求值即可． 【详解】解： EMBED Equation.DSMT4 ， ， ， 解得： ， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，以及二次根式的混合运算法则，根据二次根式有意义的条件得出 的值是解本题的关键． 4．若 ，则 ______． 【答案】 【分析】利用和的完全平方公式求出 ，再利用差的完全平方公式变形求出答案即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 故答案为： ． 【点睛】此题考查了完全平方公式的变形计算，二次根式的化简，正确掌握完全平方公式的变形计算是解题的关键． 5．阅读理解：对于任意正整数 ， ，有下面的不等式： ，当且仅当 时，等号成立；结论：在 （ 、 均为正实数）中，当且仅当 时， 有最小值 ．若 ，式子 有最小值为________． 【答案】 【分析】根据题中所给方法可直接进行求解． 【详解】解：由题意得： 当 时，则 ， 当且仅当 时，即 时， 取最小值为 ； 故答案为 ． 【点睛】本题主要考查二次根式的性质，解题的关键是理解 ． 6．求代数式 ， ，如图是小亮和小芳的解答过程： (1)______的解法是正确的； (2)化简代数式 ，（其中 ）； (3)若 ，直接写出 的取值范围． 【答案】(1)小芳 (2)3 (3) 【分析】（1）由 知 ，据此可得 ，从而作出判断； （2）利用二次根式的性质化简、代入求值即可得； （3）分三种情况，化简等号左边，再求出相应 值，合并即可． 【详解】（1）解： ， ， 则 ， 所以小芳的解法是正确的， 故答案为：小芳； （2） ， ； （3） 当 时， ，