专题15 图形变换中的重要模型之翻折（折叠）模型-2023年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（全国通用）

专题15 图形变换中的重要模型之翻折（折叠）模型 几何变换中的翻折（折叠、对称)问题是历年中考的热点问题，试题立意新颖，变幻巧妙，主要考查学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力。 涉及翻折问题，以矩形对称最常见，变化形式多样。无论如何变化，解题工具无非全等、相似、勾股以及三角函数，从条件出发，找到每种对称下隐藏的结论，往往是解题关键。本专题以各类几个图形（三角形、平行四边形、菱形、矩形、正方形等）为背景进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 【知识储备】 翻折和折叠问题其实质就是对称问题，翻折图形的性质就是翻折前后图形是全等的，对应的边和角都是相等的。以这个性质为基础，结合三角形、四边形、圆的性质，三角形相似，勾股定理设方程思想来考查。 对于翻折和折叠问题主要分两大类题型：直接计算型和分类讨论型，由浅入深难度逐步加大，掌握好分类讨论型的翻折问题，那么拿下中考数学翻折题型就没问题了。 翻折折叠题型(1)：直接计算型，运用翻折的性质，结合题中的条件，或利用三角形相似，或利用勾股定理设方程来解题。一般难度小，我们要多做一些这些题型，熟练翻折的性质，以及常见的解题套路。 翻折折叠题型(2)：分类讨论型，运用翻的性质，结合题中的条件，或利用三角形相似，或利用勾股定理设方程来解题。般难度较大，需要综合运用题中的条件，多种情况讨论分析，需要准确的画图，才能准确分析。 解决翻折题型的策略： 1）利用翻折的性质：①翻折前后两个图形全等；②对应点连线被对称轴垂直平分； 2）结合相关图形的性质(三角形，四边形等)；3）运用勾股定理或者三角形相似建立方程。 模型1.矩形中的折叠模型 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1）常规计算型 例1．（2022·浙江·宁波一模）如图，在矩形纸片中，点、分别在矩形的边、上，将矩形纸片沿、折叠，点落在处，点落在处，点、、恰好在同一直线上，若，，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由折叠的性质可得，，由“”可证，可得，，通过证明四边形是正方形，可得，在中，利用勾股定理可求的长，由锐角三角函数可求解． 【详解】解：如图，延长交于点，过点作于， ∵将矩形纸片沿、折叠，点落在处，点落在处， ∴，， 在和中，， ∴，∴， ∵，，∴四边形是矩形， 又∵，∴四边形是正方形，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，故选：D． 【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键． 变式1（2021·四川成都·中考真题）如图，在矩形中，，点E，F分别在边上，且，按以下步骤操作：第一步，沿直线翻折，点A的对应点恰好落在对角线上，点B的对应点为，则线段的长为_______；第二步，分别在上取点M，N，沿直线继续翻折，使点F与点E重合，则线段的长为_______． 【答案】     1     【分析】第一步：设EF与AA’交于点O，连接AF，易证明△AOE△ADC，利用对应边成比例可得到OA=2OE，由勾股定理可求出OE=，从而求得OA及OC；由AD∥BC，易得△AOE∽△COF，由对应边成比例可得AE、FC的关系式，设BF=x，则FC=8-x，由关系式可求得x的值； 第二步：连接NE，NF，根据折叠的性质，得到NF=NE，设B’N=m，分别在Rt△和Rt△中，利用勾股定理及NF=NE建立方程，可求得m，最后得出结果． 【详解】如图所示，连接AF， 设EF与AA’交于点O，由折叠的性质得到AA’⊥EF， ∵四边形ABCD是矩形∴∠ADC=90°，CD=AB=4 ，AD∥BC ∵∠AOE=∠ADC，∠OAE=∠DAC ∴△AOE△ADC， ∴ ，∴OA=2OE，在直角△AOE中，由勾股定理得： ， ∴OE=，∴OA=，在Rt△ADC中，由勾股定理得到：AC= ， ∴OC=，令BF=x，则FC=8-x，∵AD∥BC，∴△AOE∽△COF， ∴ ，即7AE=3FC∴3(8-x)=7×3解得：,∴的长为1． 连接NE，NF，如图，根据折叠性质得：BF=B’F=1，MN⊥EF，NF=NE，设B’N=m， 则 ，解得：m=3，则NF= ， ∵EF=，∴MF=，∴MN=，故答案为：1，． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理、三角形相似的判定与性质，矩形的性质等知识，熟练运用这些知识是解决本题的关键，本题还涉及到方程的运用． 2）线段比值型 例1．（2022·江苏苏州·中考真题）如图，在矩形ABCD中．动点M从点A出发，沿边AD向点D匀速运动，动点N从点B出发，沿边BC向点C匀速运动，连接MN．动点M，N同时出发，点M运动的速度为