专题16 图形变换中的重要模型之旋转模型-2023年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（全国通用）

专题16 图形变换中的重要模型之旋转模型 几何变换中的旋转问题是历年中考考查频率高且考查难度较高，综合性强，通常有线段、三角形、（特殊）平行四边形的旋转问题。在解决此类问题时，要牢牢把握旋转的性质，即旋转前后的图形全等，对应角相等，对应边相等，再结合几何图形本身的性质，找到旋转过程中变化的量和不变的量，运用三角形全等或相似的有关知识，求解有关角、线段及面积问题。 模型1.三角形中的旋转模型 1）常规计算型 例1．（2020·四川绵阳·中考真题）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝2，AD＝2，将△ABC绕点C顺时针方向旋转后得△，当恰好经过点D时，△CD为等腰三角形，若B＝2，则A＝（　　） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】过作于，则，根据矩形的性质得，，根据旋转的性质得到，，，，推出△为等腰直角三角形，得到，设，则，，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：过作于， 则，，，， 四边形是矩形，，， 将绕点顺时针方向旋转后得△， ，，，，△△，， △为等腰三角形，△为等腰直角三角形，， 设，则，，， ，（负值舍去），， ，，，故选：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键． 变式1．（2022·山西·中考真题）综合与实践 问题情境：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．直角三角板EDF中∠EDF=90°，将三角板的直角顶点D放在Rt△ABC斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE，DF分别与边AB，AC交于点M，N，猜想证明： （1）如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理由；问题解决：（2）如图②，在三角板旋转过程中，当时，求线段CN的长； （3）如图③，在三角板旋转过程中，当AM=AN时，直接写出线段AN的长． 【答案】（1）四边形AMDN为矩形；理由见解析；（2）；（3）． 【分析】（1）由三角形中位线定理得到 ，证明∠A=∠AMD=∠MDN=90°，即可证明结论； （2）证明△NDC是等腰三角形，过点N作NG⊥BC于点G，证明△CGN∽△CAB，利用相似三角形的性质即可求解；（3）延长ND，使DH=DN，证明△BDH≌△CDN，推出BH=CN，∠DBH=∠C，证明∠MBH=90°，设AM=AN=x，在Rt△BMH中，利用勾股定理列方程，解方程即可求解． 【详解】解：（1）四边形AMDN为矩形．理由如下：∵点M为AB的中点，点D为BC的中点， ∴，∴∠AMD+∠A=180°，∵∠A=90°，∴∠AMD=90°， ∵∠EDF=90°，∴∠A=∠AMD=∠MDN=90°，四边形AMDN为矩形； （2）在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8 ∴∠B+∠C=90°，． ∵点D是BC的中点，∴CD=BC=5．∵∠EDF=90°，∴∠MDB+∠1=90°． ∵∠B=∠MDB，∴∠1=∠C．∴ND=NC．过点N作NG⊥BC于点G，则∠CGN=90°． ∴CG=CD=．∵∠C=∠C，∠CGN=∠CAB=90°，∴△CGN∽△CAB． ∴，即，∴； （3）延长ND至H，使DH=DN，连接MH，NM，BH， ∵MD⊥HN，∴MN=MH，∵D是BC中点，∴BD=DC， 又∵∠BDH=∠CDN，∴△BDH≌△CDN，∴BH=CN，∠DBH=∠C， ∵∠BAC=90°，∵∠C+∠ABC=90°，∴∠DBH+∠ABC=90°，∴∠MBH=90°， 设AM=AN=x，则BM=6-x，BH=CN=8-x，MN=MH=x， 在Rt△BMH中，BM2+BH2=MH2，∴(6-x)2+(8-x)2=(x)2，解得x=，∴线段AN的长为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定，勾股定理，解第（3）问的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 2）最值（范围）型 例1．（2022·江苏常州·一模）如图，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠BAC＝∠DCE＝90°，AB＝AC＝4，CD＝CE＝2，以AB、AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．若将△CDE绕点C旋转一周，则线段AF的最小值是______． 【答案】 【分析】证明当D，E，F共线时，△AOF为等腰直角三角形，可得AF= AO，当AO有最小值时，AF最小，由此可得CO=， AO= AF=． 【详解】解：当D，E，F共线时，AF最小，如图所示， ∵AB=AC，AB=DF，∴AC=DF，又∵∠FDC=∠ACD=45°，∴DO=OC，∴OA=OF， ∵∠AOF=90°∴AF=AO，当AO有最小值时，AF最小，即当O在AC上时，此时D，E，F