6.4.3.2正弦定理（课件+作业）-【超级课堂】2022-2023学年高一数学教材配套教学精品课件+分层练习(人教A版2019必修第二册）

6.4.3.2正弦定理 余弦定理 已知三边,怎样求三个角呢？ 推论： C B A b a c 温故知新 回忆一下直角三角形的边角关系? A B C c b a 两等式间有联系吗？ 在其他三角形中是否也存在这样的等量关系吗？ 复习导入 在非直角三角形ABC中有这样的关系吗? 所以CD=asinB=bsinA, 即 同理可得 D C a b A B 图1 过点C作CD⊥AB于D, 此时有　 若三角形是锐角三角形, 如图1, 探究一 且 仿上可得 D 若三角形是钝角三角形,以上等式仍然成立吗? 此时也有 交BC延长线于D, 过点A作AD⊥BC， C A c b B 图2 探究二 正弦定理: 在一个三角形中,各边和它所对角的 正弦的比相等. 即 思考 是否可以用其他方法证明正弦定理? 方法二： 如图，过B作直径BA'， 则∠A'=∠A，∠BCA'=90° A’ 即: B C A c b a 故: 同理: 即: 若A是钝角呢？ 方法三在锐角三角形中 由向量加法的三角形法则 B A C 在钝角三角形中 A B C 具体证明过程 马上完成! 正弦定理: 在一个三角形中,各边和它所对角的 正弦的比相等. 即 公式变形：a=2RsinA b=2RsinB c=sinC A C B 1 正弦定理 已知两边和其中一边的对角,求其他边和角 例 2 已知a=16， b= ， A=30° . 求角B，C和边c 已知两边和其中一边 的对角,求其他边和角 解：由正弦定理 得 所以 Ｂ＝60°, 或Ｂ＝120° 当 时 Ｂ＝60° C=90° C=30° 当Ｂ＝120°时 B 16 300 A B C 16 3 16 解： ∵ 正弦定理应用一： 已知两角和任意一边，求其余两边和一角 已知两角和任意边，求其他两边和一角 正弦定理的常见变形 巩固提升： （1）在 中，一定成立的等式是（ ） C （2）在 中，若 ，则 是( ) A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 D 例4在△ABC中，若sin A＝2sin Bcos C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状． 【思路点拨】　利用正弦定理将角的关系式sin2A＝sin2B＋sin2C转化为边的关系式，从而判断△ABC的形状． 互动探究　若本例中的条件“sin A＝2sin B cos C”改为“sin2A＝2sin B sin C”，试判断△ABC的形状． 解：由sin2A＝sin2B＋sin2C， 得a2＝b2＋c2.∴A＝90°. ∵sin2A＝2sin B sin C， ∴a2＝2bc，∴b2＋c2＝2bc. ∴b＝c， ∴△ABC为等腰直角三角形． 三角形面积公式 例5 在 中， ，求 的面积S． h A B C 三角形面积公式 解： ∴由正弦定理得 三角形面积公式 变式训练 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 A A B B C C a a b b 25 25 A B C a b A B1 B2 C a a b A B C b a=bsinA A B C b a<bsinA 26 26 方法二：画圆法 若A为锐角时: 若A为直角或钝角时: 已知a,b和A,用正弦定理求B时的各种情况: 28 28 （1） b＝20，A＝60°，a＝20√3 ，求B; （2） b＝20，A＝60°，a＝10√3， 求B; （3） b＝20，A＝60°，a＝15，求B. 60° A B C b 例6 在ABC中，已知b＝20，A＝60°， 思考： 当b＝20，A＝60°，a＝？时， 有1解、2解、无解. （1） b＝20，A＝60°，a＝20√3 sinB＝ ＝ ， b sinA a 1 2 B＝30°或150°， ∵ 150°＋60°> 180°， ∴ B＝150°应舍去. （2） b＝20，A＝60°，a＝10√3 B＝90°. sinB＝ ＝1 ， b sinA a （3） b＝20，A＝60°，a＝15. 2√3 3 ∵ > 1，