课时分层作业12 正弦定理-2021-2022学年新教材高中数学必修第二册【名师导航】同步Word练习(人教A版)

课时分层作业(十二)　正弦定理 (建议用时：40分钟) 一、选择题 1．在△ABC中，a＝4，A＝45°，B＝60°，则边b的值为(　　) A．＋1　　　　　 B．2＋1 C．2 D．2＋2 C　[由已知及正弦定理，得＝， ∴b＝＝＝2.] 2．在△ABC中，A＝60°，a＝4，b＝4，则B等于(　　) A．45°或135° B．135° C．45° D．以上答案都不对 C　[∵sin B＝＝＝， ∴B＝45°或135°. 但当B＝135°时，不符合题意， ∴B＝45°，故选C．] 3．在△ABC中，A∶B∶C＝4∶1∶1，则a∶b∶c等于(　　) A．4∶1∶1 B．2∶1∶1 C．∶1∶1 D．∶1∶1 D　[∵A＋B＋C＝180°，A∶B∶C＝4∶1∶1， ∴A＝120°，B＝30°，C＝30°. 由正弦定理的变形公式得a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝sin 120°∶sin 30°∶sin 30°＝∶∶＝∶1∶1.] 4．在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 B　[∵a＝bsin A，∴＝sin A＝，∴sin B＝1， 又∵B∈(0，π)，∴B＝，即△ABC为直角三角形．] 5．在△ABC中，已知B＝60°，最大边与最小边的比为，则三角形的最大角为(　　) A．60°　　　　　　　 B．75° C．90° D．115° B　[不妨设a为最大边，c为最小边， 由题意有＝＝， 即＝. 整理得(3－)sin A＝(3＋)cos A． ∴tan A＝2＋， 又∵A∈(0°，120°)， ∴A＝75°，故选B．] 二、填空题 6．在△ABC中，B＝45°，C＝60°，c＝1，则最短边的边长等于________. 　[由三角形内角和定理知：A＝75°，由边角关系知B所对的边b为最小边，由正弦定理＝得b＝＝＝.] 7．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝，sin B＝，C＝，则b＝________. 1　[在△ABC中，∵sin B＝，0<B<π，∴B＝或B＝π. 又∵B＋C<π，C＝，∴B＝， ∴A＝π－－＝π. ∵＝，∴b＝＝1.] 8．在△ABC中，AB＝，∠A＝75°，∠B＝45°，则AC＝________. 2　[由正弦定理可知＝，即＝，解得AC＝2.] 三、解答题 9．在△ABC中，已知＝＝，试判断△ABC的形状． [解]　令＝k， 由正弦定理得a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C． 代入已知条件，得＝＝， 即tan A＝tan B＝tan C． 又A，B，C∈(0，π)， ∴A＝B＝C，∴△ABC为等边三角形． 10．在△ABC中，A＝60°，sin B＝，a＝3，求三角形中其它边与角的大小. [解]　由正弦定理得＝， 即b＝＝＝. 由于A＝60°，则B<120°， 因为sin B＝， 所以B＝30°，则C＝90°， ∴c＝＝＝2. 综上，b＝，c＝2，B＝30°，C＝90°. 11．(多选题)在△ABC中，A>B，则下列不等式中一定正确的是(　　) A．sin A>sin B B．cos A<cos B C．sin 2A>sin 2B　　 D．cos 2A<cos 2B ABD　[A>B⇔a>b⇔sin A>sin B，A正确． 由于在(0，π)上，y＝cos x单调递减， ∴cos A<cos B，B正确． cos 2α＝1－2sin2α. ∵sin A>sin B>0，∴sin2 A>sin2 B， ∴cos 2A<cos 2B，D正确．] 12．在△ABC中，a＝4，b＝，5cos(B＋C)＋3＝0，则B的大小为(　　) A．　　 　B．　　　 C．　　 　D．π A　[由5cos(B＋C)＋3＝0得cos A＝， ∴A∈，∴sin A＝， 由正弦定理得＝，∴sin B＝. 又∵a>b，∴A>B，且A∈， ∴B必为锐角，∴B＝.] 13．在△ABC中，若C＝2B，则的取值范围为________． (1,2)　[因为A＋B＋C＝π，C＝2B， 所以A＝π－3B>0，所以0<B<，所以<cos B<1. 因为＝＝＝2cos B， 所以1<2cos B<2，故1<<2.] 14．(一题两空)在△ABC中，A＝30°，C＝45°，c＝，则a＝________，b＝________. 1　　[因为A＝30°，C＝45°，c＝， 所以由正弦定理，得a＝＝＝1. 又B＝180°－(30°＋45°)＝105°， ∴b＝＝＝2sin 105°＝2sin(45°＋60°)＝.] 15．已知方程x2－bcos Ax＋acos B＝0的两根之积等于两根之和，且a，b为△ABC的两边，A