精品解析：北京市北京大学附属中学元培学院2022-2023学年高一上学期期末考试数学试题

2022—2023学年第一学期北大附中元培学院高一期末考试 数学试卷 考生须知： 1.本试卷共5页，分为两部分：第一部分为选择题，共40分；第二部分为非选择题，共110分. 2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.第一部分必须用2B铅笔作答，第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答. 一､选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，若（ ） A. B. C D. 2. 下列函数中，是奇函数且在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 已知，，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 或2 6. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 已知平面向量，是非零向量，，，则向量在向量方向上的投影为（ ） A. ​ B. 1 C. ​ D. 2 8. 已知，则不等式解集为（ ） A. B. C. D. 9. 函数在区间上的图像是连续不断的，则“”是“函数在区间上没有零点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 10. 已知.若对于，均有成立，则实数取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上. 11. 函数的定义域是_____. 12. __________，__________. 13. 已知是关于的方程的两个实根，且，则__________. 14. 已知，当时，的单调减区间为__________；若存在最小值，则实数的取值范围是__________. 15. 请阅读以下材料，并回答后面的问题： 材料1：人体成分主要由骨骼､肌肉､脂肪等组织及内脏组成，肌肉是最大的组织，且肌肉的密度相比脂肪而言要大很多.肌肉和脂肪在体重中占比个体差异较大，脂肪占体重的百分比（称为体脂率，记为）经常作为反映肥胖程度的一个重要指标，但是不易于测量. 材料2：体重指数BMI（BodyMassIndex的缩写）计算公式为：体重指数BMI为体重，单位：千克；为身高，单位：米），是衡量人体整体胖瘦程度的一个简单易得的重要指标.1997年，世界卫生组织经过大范围的调查研究后公布：BMI值在为正常；为超重；为肥胖.由于亚洲人与欧美人的体质有较大差异，国际肥胖特别工作组经调查研究后，于2000年提出了亚洲成年人BMI值在为正常.中国肥胖问题工作组基于中国人体质特征，于2003年提出中国成年人BMI值在为正常；为超重；为肥胖. 30岁的小智在今年的体检报告中，发现体质指数BMI值为，依照标准属于超重.因为小智平时还是很注意体育锻炼的，正常作息，且每周去健身房有大约2小时的健身运动，周末还经常会和朋友去打篮球，所以小智对自己超重感觉很困惑. 请你结合上述材料，从数学模型的视角，帮小智做一下分析（包括：是否需要担心？为什么？）：__________. 三､解答题：本大题共4小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知集合 （1）求集合中的所有整数； （2）若，求实数的取值范围. 17. （1）已知都锐角，，，求； （2）求； （3）若，求. 18. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象，令.当时，求的值域. 19. 已知且，函数在R上是单调减函数，且满足下列三个条件中的两个. ①函数为奇函数；②；③. （1）从中选择的两个条件的序号为_____，依所选择的条件求得____，____； （2）利用单调性定义证明函数在上单调递减； （3）在（1）的情况下，若方程在上有且只有一个实根，求实数的取值范围. 20. 在中，为边上的点，且满足. （1）若为边长为2的等边三角形，，求； （2）若，求； （3）若，求的最大值； （4）若将“为边上的点”改为“在的内部（包含边界）”，其它条件同（1），则是否为定值？若是，则写出该定值；若不是，则写出取值范围.（不需要说明理由） 21. 设函数的定义域为，且区间，对任意且，记，.若，则称在上具有性质；若，则称在上具有性质；若，则称在上具有性质；若，则称在上具有性质. （1）记：①充分而不必要条件； ②必要而不充分条件； ③充要条件； ④既不充分也不必要条件 则在上具有性质是