7.5.2 三角形的外角 教案2022-2023学年北师大版数学八年级上册

第2课时　三角形的外角 1．掌握三角形外角的两条性质． 2．进一步熟悉和掌握证明的步骤、格式、方法、技巧． 重点：三角形外角的两条性质． 难点：运用三角形的外角的两条性质解决相关问题． 一、导入新课 1．我们已学习过三角形内角和定理是什么？ 2．△ABC的内角的一边与另一边的反向延长线组成的角，称为△ABC的外角．如下图，∠1是△ABC的∠ACB的外角，你能在图中画出△ABC的其他外角吗？ 3．猜想：图中的∠1与其他角之间有什么关系？你能证明这个猜想吗？ 二、探究新知 探究1　三角形的外角． 上面的∠ACD叫做△ABC的外角．也就是三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 师：想一想，三角形的外角共有几个？ 生：共有六个． 注意：每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．研究与三角形外角有关的问题时，通常每个顶点处取一个外角． 探究2　三角形外角的性质． 教师引导学生回忆，容易知道三角形的外角∠ACD与相邻的内角∠ACB是邻补角，它与另外两个角有怎样的数量关系呢？ 如图，这是我们证明三角形内角和定理时画的辅助线，你能就此图说明∠ACD与∠A、∠B的关系吗？ ∵CM∥AB，∴∠A＝∠1，∠B＝∠2， 又∠ACD＝∠1＋∠2， ∴∠ACD＝∠A＋∠B. 师：你能用文字语言叙述这个结论吗？ 学生讨论，教师板书：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和． 师：由加数与和的关系你还能知道什么？ 生：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角． 三、新知归纳 1．三角形的外角是三角形的一条边与另一条边的反向延长线组成的角． 2．定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 3．定理：三角形的—个外角大于任何一个和它不相邻的内角． 四、典例剖析 例1　如图所示，E为BA延长线上一点，F为CA延长线上一点，AD平分∠EAC. (1)图中△ABC的外角有哪几个？ (2)若∠B＝∠C，求证：AD∥BC. 思路分析：在(1)中判断哪些角是△ABC的外角，关键是看这个角是否由三角形的一边和另一边的反向延长线组成．在(2)中，要证AD∥BC，可以考虑证∠EAD＝∠B(或∠DAC＝∠C)，由∠EAC是△ABC的外角，可得∠EAC＝∠B＋∠C，又由AD平分∠EAC，∠B＝∠C，我们可以得到∠EAD＝∠DAC＝∠B＝∠C，从而证得AD∥BC. 解：(1)图中△ABC的外角有两个：∠FAB，∠EAC. (2)证明：∵AD平分∠EAC(已知)， ∴∠EAD＝∠EAC(角平分线的定义)． ∵∠EAC是△ABC的外角(三角形外角的定义)， ∴∠EAC＝∠B＋∠C(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)． ∵∠B＝∠C(已知)， ∴∠EAC＝∠B＋∠C＝2∠B(等量代换)． ∴∠B＝∠EAC(等式的性质)． ∴∠EAD＝∠B(等量代换)． ∴AD∥BC(同位角相等，两直线平行)． 例2　如图，在△ABC中，AD，BE分别是∠BAC，∠ABC的平分线． (1)若∠C＝70°，∠BAC＝60°，则∠BED的度数是________；若∠BED＝50°，则∠C的度数是________． (2)探究∠BED与∠C的数量关系，并证明你的结论． 思路分析：(1)根据三角形的内角和得到∠ABC＝50°，根据角平分线的定义得到∠BAD＝∠BAC＝30°，∠ABE＝∠ABC＝25°，根据三角形的外角性质即可得到结论；根据三角形的外角性质，得∠BED＝∠BAD＋∠ABE，再由角平分线的定义和三角形内角和定理即可求∠C；(2)根据角平分线的定义和三角形的内角和即可得到结论． 解：(1)因为∠C＝70°，∠BAC＝60°，所以∠ABC＝50°.因为AD，BE分别是∠BAC，∠ABC的平分线，所以∠BAD＝∠BAC＝30°，∠ABE＝∠ABC＝25°，所以∠BED＝∠BAD＋∠ABE＝30°＋25°＝55°.因为∠BED＝50°，所以∠ABE＋∠BAE＝50°，所以∠ABC＋∠BAC＝2×50°＝100°，所以∠C＝80°. (2)∠BED＝90°－∠C.证明如下：因为AD，BE分别是∠BAC，∠ABC的平分线，所以∠ABE＝∠ABC，∠BAE＝∠BAC.因为∠BED＝∠ABE＋∠BAE＝(∠ABC＋∠BAC)＝(180°－∠C)＝90°－∠C. 例3　如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD于D，AB>AC. 求证：∠ACD>∠ABC. 思路分析：要证明的结论中的角因所在的三角形是不同的三角形，故不能直接比较大小，应把一般三角形转化为特殊三角形，若延长CD交AB于点E，这样可以把∠ACD转移到与∠ABC相关的位置． 证明：∵AB>AC(已知)， ∴延长CD交AB于点E(如图)． ∵AD平分∠BAC(已知) ∴∠EAD＝∠CAD(角平分线的