7.1.2 复数的几何意义-【优课堂】2022-2023学年高一数学下学期同步精讲课件(人教A版2019必修第二册)

直线 7.1.2 复数的几何意义 问题导入 l 我们知道，实数与数周上的点一一对应，因此实数可以用数轴上的点来表示.复数有什么几何意义呢？ l 思考1：根据复数相等的定义，任何一个复数都可以由一个有序数对唯一确定；反之也对.由此你能想到复数的几何表示方法吗？ 新知探索 因为任何一个复数都可以由一个有序数对唯一确定，并且任给一个复数也可以唯一确定一个有序实数对，所以复数与有序数对是一一对应的.而有序数对与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系. 如图，点的横坐标是，纵坐标是，复数可用点表示.这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. 新知探索 例如，复平面内的原点表示实数，实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示纯虚数，点表示复数等. 按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.由此可知，复数集中的数与复平面内的点按如下方式建立了一一对应关系 复数 复平面内的点. 一一对应 这是复数的一种几何意义. 新知探索 l 思考2：在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的.你能用平面向量来表示复数吗？ 复数 平面向量. 一一对应 如图，设复平面内的点表示复数，连接，显然向量由点唯一确定；反过来，点也可以由向量唯一确定.因此，复数集中的数与复平面内以原点为起点的向量建立了如下的一一对应关系(实数0与零向量对应)，即 这是复数的另一种几何意义. 新知探索 l 为方便起见，我们常把复数说成点或说成向量，并且规定，相等的向量表示同一个复数. 图中向量的模叫做复数的模或绝对值，记作或. 即，其中. 如果那么是一个实数，它的模就等于(的绝对值). 新知探索 答案：A. 辨析1.已知复数，复平面内对应点的坐标为( ). A. B. C. D. 辨析2.已知复数的实部为，虚部为，则( ). A. B. C. B. 答案：. 例析 例2.设复数，. (1)在复平面内画出复数，对应的点和向量； (2)求复数，的模，并比较它们的模的大小. l 解(1)：如图，复数，对应的点分别为，，对应的向量分别为，. (2)： 所以 新知探索 l 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.复数的共轭复数用表示，即如果，那么. 思考3：若 是共轭复数，那么在复平面内它们所对应的点有怎样的关系？ 例析 例3.设在复平面内对应的点为，那么满足下列条件的点的集合是什么图形？ (1)；(2). l 解(1)：由得，向量的模等于1，所以满足条件的点的集合是以原点为圆心，以为半径的圆. (2)：不等式可化为 不等式 例析 不等式的解集是圆的内部所有的点组成的集合，不等式的解集是圆外部所有的点组成的集合，这两个集合的交集，就是上述不等式组的解集，也就是满足条件的点的集合.容易看出，所求的集合是以原点为圆心，以及为半径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界. l 练习 题型一：复数与复平面内点的关系 例1.求实数分别取何值时，复数对应的点满足下列条件： (1)在复平面内的第二象限内； (2)在复平面内的轴上方. 解：(1)由点在复平面的第二象限内，可得解得. (2)由点在复平面的轴上方，可得 即，解得或. 练习 方法技巧： 利用复数与点的对应关系解题的步骤 1.找对应关系：复数的几何表示法即复数可以用复平面内的点来表示，是解决此类问题的根据. 2.列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解. 练习 变1.求实数分别取何值时，复数对应的点满足下列条件： (1)求复数表示的点在轴上时，实数的值； (2)如果点在直线上，求实数的值. 解(1)：因为点在轴上，所以且， 解得.故时，点在轴上. 解(2)：因为点在直线上，所以， 即，所以 解得或. 所以或时，点在直线上. 练习 题型二：复数与复平面内向量的关系 例2.(1)向量对应的复数是，向量对应的复数是，则对应的复数是（ ）