7.1.2复数的几何意义(典例精讲)-【巅峰课堂】2021-2022学年高一下学期数学同步精讲+检测(人教A版2019必修第二册)

7.1.2复数的几何意义 本节课知识点目录: 1、 复平面内点与复数的关系; 2、 复平面内向量与复数的关系。 3、 复数的模 4、 共轭复数 5、 复数几何意义应用1:复数中的简单轨迹与图像 6、 复数几何意义应用2:求复数的范围与最值 -典例精讲 一、复平面内点与复数的关系 复数z=a+bi(a,b∈R)复平面内的点Z(a,b). 【典型例题】 【例1】已知i为虚数单位,复数,则z在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】B 根据三角函数的诱导公式,求得复数,结合复数的几何意义,即可求解. 【详解】由 即复数, 所以复数对应的点为位于第二象限. 故选:B 【例2】复数对应的点在虚轴上,则 A.,或 B.,且 C.,或 D. 【答案】C 【分析】利用复数的运算性质和几何意义即可得出. 【详解】解:由于复数对应的点在虚轴上, 因此, ,解得,或 故选C 【点睛】 熟练掌握复数的运算性质和几何意义是解题的关键. 【例3】复数在复平面上对应的点不可能位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】B 【分析】根据题意,表示出复数在复平面上对应的点的坐标,分别讨论横纵坐标的取值范围,即可得到正确选项. 【详解】根据题意可知,复数的实部,虚部. 当时,,,故点可能在一、四象限; 当时,,,故点在第三象限. 综上,复数在复平面上对应的点不可能位于第二象限. 故选:B. 【例4】当时,复数在复平面上对应的点位于( ). A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】D 【分析】利用的范围求出、的范围即可确定答案. 【详解】∵, ∴,, ∴复数在复平面上对应的点位于第四象限. 故选:D. 【例5】若(i是虚数单位,)对应的点在复平面内位于第四象限,则( ) A. B. C. D.或 【答案】C 【分析】利用复数表示的点所在象限,列出关于m的不等式求解即可. 【详解】复数表示的点为 由题设知,解得故选:C 【例6】若m为实数,则复数在复平面内所对应的点可能在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】ABD 【分析】由复数的实部、虚部之和大于0,可排除C,再应用特殊值法:令、、判断复数对应点可能出现在哪个象限. 【详解】若m为实数,则的实部为,虚部为. ∵实部与虚部相加为, ∴该复数在复平面内对应的点的横、纵坐标不可能都为负,即该复数在复平面内对应的点不可能位于第三象限,排除C; 取,则,∴该复数在复平面内对应的点在第二象限,可选B; 取,则,∴该复数在复平面内对应的点在第一象限,可选A; 取,则, ∴该复数在复平面内对应的点在第四象限,可选D. 故选:ABD. 【例7】复数,在复平面上对应的点分别为、. (1)若、关于轴对称,则、、、应满足的关系是_; (2)若、关于轴对称,则、、、应满足的关系是_; (3)若、关于原点对称,则、、、应满足的关系是_; (4)若、关于第一、三象限的角平分线对称,则、、、应满足的关系是_. 【答案】 , , , , 【分析】直接利用复数的几何意义即可得到. 【详解】因为复数,在复平面上对应的点分别为、, 所以 (1)若、关于轴对称,则、、、应满足的关系是,; (2)若、关于轴对称,则、、、应满足的关系是,; (3)若、关于原点对称,则、、、应满足的关系是, (4)若、关于第一、三象限的角平分线对称,则、、、应满足的关系是,. 故答案为:(1),;(2),;(3),;(4),. 【对点实战】 1.在复平面内,若复数对应的点的坐标为,则实数( ) A.1 B. C.2 D. 【答案】D 【分析】根据复数和坐标系中的点的对应关系得到结果即可. 【详解】复数对应的点的坐标为 由题干得到 故选:D. 2.设,复数,则在复平面内的对应点一定不在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】C 【分析】在复平面内的对应点考查点横纵坐标的正负,分情况讨论即可. 【详解】由题得, 在复平面内的对应点为. 当,即时,二次函数取值范围有正有负,故在复平面内的对应点可以在一二象限. 当,即时,二次函数,故在复平面内的对应点可以在第四象限. 故在复平面内的对应点一定不在第三象限.故选:C 3.已知复数在复平面内对应的点在第三象限,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】结合复数在平面内所对应的点的特征,得到不等式组,解之即可求出结果. 【详解】因为在复平面内对应的点在第三象限,所以 ,则实数的取值范围是,故选:B. 4.下列说法错误的是( ) A.实轴上的点对应的复数为实数 B.虚轴上的点对应的复数为纯虚数 C.表示实数的点都在实轴上 D.表示纯虚数的点都在虚