5.3导数的应用（第4课时）利用导数解决实际问题（教学课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第二册）

2022-2023学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020选修第二册） 第 5 章导数及其应用 5.3导数的应用（第4课时）利用导数解决实际问题 1 前面已经看到 ， 导数可用来研究函数在某区间上的最大（ 小 ） 值 ， 从而对解决何时利润最大 、 何时用料最省等优化问题发挥着重要作用 例11. 图 ５-３-４ 是一张边长为 ３ 的正方形硬纸板 ， 现把它的四个角上裁去边长为 x的四个小正方形 ， 再折叠成无盖纸盒 ． 当裁去的小正方形边长 x发生变化时 ， 纸盒的容积 v会随之发生变化 ． 当 x 在什么范围内变化时 ， 容积v 随着x的增大而增大？ x在什么范围内变化时 ， 容积v随着x 的增大而减小？ 当 x取何值时 ， 容积v 最大？ 最大值是多少？ （ 纸板厚度忽略不计 ） （ １ ） 比较 C ′ （ １０ ） 和 C ′ （ ２０ ）， 解释两者的大小代表了怎样的实际意义 ； （ ２ ） 当产量为多少时 ， 平均成本最少？ 在很多情形下 （ 如例 １１ 与例 １３ ）， 由实际问题本身的意义 ， 可知函数在区间内部必定存在最大值 （ 或最小值 ）， 而区间内部只 有一个驻点 ， 由此即可断定 ： 该函数在区间内部的唯一驻点处取 得最大值 （ 或最小值 ） 例14. 一艘船航行所需的燃料费与船速的平方成正比 ． 如果船速是 １０ｋｍ ／ ｈ ， 那么每小时的燃料费是 ８０ 元 ． 已知该船航行 的其他费用为每小时 ４８０ 元 ， 在 １００ｋｍ 的航程中 ， 保持怎样的船速可使航行总费用最少？ （ 结果精确到 １ｋｍ ／ ｈ ） 所以 ， 在 １００ｋｍ 的航程中 ， 保持约 ２４ｋｍ ／ ｈ 的船速可使航行总费用最少 课本练习 宋老师数学精品工作室 ２． 采矿 、 采石或取土时 ， 常用炸药包进行爆破 ， 部分爆破呈圆锥漏斗形状 （ 如图 ）， 已知圆锥的母线长是炸药包的爆破半径R ， 它的值是固定的 ． 问 ： 炸药包埋多深可使爆破体积最大？ 宋老师数学精品工作室 随堂检测 宋老师数学精品工作室 1、某产品的销售收入y1(万元)是产品x(千台)的函数：y1＝17x2(x>0)；生产总成本y2(万元)也是x的函数：y2＝2x3－x2(x>0)，为使利润最大，应生产(　　) A．9千台 B．8千台 C．6千台 D．3千台 【答案】C； 【解析】利润函数y＝y1－y2＝18x2－2x3(x>0)，求导得y′＝36x－6x2，令y′＝0，得x＝6或x＝0(舍去). 因0<x<6时，y＝18x2－2x3递增，x>6时，y＝18x2－2x3递减， ∴x＝6时利润最大，故选C. 宋老师数学精品工作室 2、做一个容积为256 dm3的方底无盖水箱，它的高为________dm 时最省材料 【答案】4； 3、从边长为10 cm×16 cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正 方形，做成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为 cm3. 【答案】144； 宋老师数学精品工作室 15 4、一个帐篷，它下部的形状是高为1 m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m 的正六棱锥(如图所示)．当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为__________ m时， 帐篷的体积最大； 【答案】2； 宋老师数学精品工作室 5、已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y＝4－x2在x轴上方的曲线上，求：这个矩形面积最大时的长和宽； 【解析】设矩形边长AD＝2x(0<x<2)， 则|AB|＝y＝4－x2， 则矩形面积为S＝2x(4－x2)＝8x－2x3(0<x<2)， 所以S′＝8－6x2，令S′＝0， $