5.2导数的运算（第3课时）简单复合函数的导数（教学课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第二册）

2023-2024学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020选修第二册） 第 5 章导数及其应用 ５.２导数的运算（第3课时） 简单复合函数的导数 1 ３ 简单复合函数的导数 在本节例７第（３）小题中，为了利用导数四则运算法则求 的导数，我们借助完全平方公式将 化为 从 而 方 便 求 导．如 果 从 另 一 个 角 度 看,函 数 又可以看作由两个函数 “套”在一起所构成的新函数．像这样，一个函数y＝f（u）的自变量u又是另一个变量x的函数u＝g（x），我们把将y直接看成变量x的函数而得到的新函数y＝f（g（x））称为两个函数的复合函数. 在解求导数的问题时，往往不是把两个预先给定的函数复合成比较复杂的函数，而是反过来，面对一个较复杂的函数时，引进一个中间变量，把原来的函数看成两个相对简单的函数的复合，使求导过程简化．上面对函数 就是这样处理的．又如，函数y＝ｓｉｎ２x可以看作由函数y＝ｓｉｎu与u＝２x复合而成． 我们不讨论一般复合函数的求导问题，仅考虑由y＝f（u）与 u＝ax＋b复合而成的f（ax＋b）型复合函数的求导法则．因为当 h≠０时 并注意到h趋近于０当且仅当ah趋近于０，所以 这就给出了f（ax＋b）型复合函数的求导法则 例９ 求f（x）＝ｌｎ（２－５x）的导数． 解 将f（x）＝ｌｎ（２－５x）看作由f（u）＝ｌｎu与u＝２－５x复合而成，则 例１０ 设实数a＞０且a≠１，求证： 证明 因为 可以把 看作由 与 复合而成，所以 探究： 按以下步骤探究复合函数求导的一般规律： １．分别求 的导数，探索三 个导数之间的联系； ２．分别求 的导数，探索三个导数之间的联系； ３．根据上述两个特例，猜想复合函数求导的一般规律，并用一 些实例验证你的猜想． 课本练习 练习５．2（2） 1．利用f（ax＋b）型复合函数的求导法则求下列函数的导数： 2．尝试用两种不同的方法求 的导数． 3．求曲线 在点（０，２）处的切线方程． ４． 求下列函数的导数 ： 习题５．２ A组 １．求下列函数的导数： ２．求曲线y＝ｃｏｓx在 处的切线方程． ３．已知曲线 在原点以外的某点P处切线的斜率为a． （１）求点P的坐标； （２）判断a的正负． ４．求曲线 平行于x轴的切线及其切点坐标． ５．求曲线 的平行于直线y＝－x的切线及其切点坐标． ６．求下列函数的导数： ７．用两种方法求函数 的导数． ８．已知函数f（x）与g（x）满足条件 对于下列函数h（x），求h（１）和h′（１）: ９．利用f（ax＋b）型复合函数的求导法则求下列函数的导数： １０．用两种方法求函数 的导数． １１．某种动物的体温T（单位：摄氏度）与太阳落山后的时间t（单位：分钟）满足函数关系 （１）当t＝５时，求该动物体温的瞬时变化率； （２）在哪一时刻该动物体温的瞬时变化率是－２摄氏度／分钟（精确到０．１）？ １２．某港口一天内潮水的高度h（单位：米）与时间t（单位：时）近似满足函数关系h（t）＝ 分别求上午６时与下午６时潮水的速度． B组 １．火车行驶速度v（单位：米／秒）与行驶时间t（单位：秒）满足函数关系 （１）求火车行驶的加速度； （２）火车行驶到哪一时刻加速度为４米／秒２？ ２．直线y＝－x＋b是下列函数的切线吗？如果是，请求出b的值；如果不是，请说明理由. ３．吹一个球形的气球时，气球半径r将随空气容量V的增加而变化． （１）写出气球半径r关于气球内空气容量V的函数表达式； （２）求V＝１时，气球的瞬时膨胀率（即气球半径关于气球内空气容量的瞬时变化率）． ４．判断下列求导结果是否正确，如果不正确，请指出错在哪里，并予以改正． ５．求过点（０，－１）且与曲线 相切的直线的方程． ６．一罐汽水放入冰箱后的温度x（单位：摄氏度）与时间t（单位：小时）满足函数关系x= （１）求x′（１），并解释其实际意义； （２）已知摄氏度x与华氏度