5.3导数的应用（第2课时）利用导数研究函数的极值（教学课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第二册）

2022-2023学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020选修第二册） 第 5 章导数及其应用 5.3导数的应用（第2课时） 利用导数研究函数的极值 1 观察图 ５-３-２ 中函数 y＝ f（ x ） 的图像 ， 其中有一些特殊的点 ， 在这些特殊点的左右两侧附近 ， 函数的单调性发生了改变 ．例如 ， 函数在点 （ x１ ， f（ x １ ）） 的左侧附近严格增 ， 右侧附近严格减 ， 此处出现了一个 “ 山峰 ”； 又如 ， 函数在点 （ x ２ ， f（ x ２ ）） 的左侧附近严格减 ，右侧附近严格增 ， 此处出现了一个 “ 山谷 ” 换句话说 ， 在 x=x１ 附近存在一个小区间 ， 该区间内其他自变量所对应的函数值都不大于 f（ x１ ）， 此时 ， 就说函数 y＝ f （ x ） 在x ＝ x１ 处取得 极大值 f （ x１ ）， 而点 x１ 称为函数 y＝ f （ x ） 的 极大值点 ．类似地 ， 在 x＝ x２ 附近存在一个小区间 ， 该区间内其他自变量所对应的函数值都不小于 f （ x ２ ）， 此时 ， 就说函数 y＝ f（ x） 在 x＝ x２ 处取得 极小值 f（ x２ ）， 而点 x２ 称为函数 y＝ f（ x ） 的 极小值点 因此 ， 图 ５-３-２ 所示的函数有三个极大值点 x１ 、 x３ 、 x５ ，还有三个极小值点 x２ 、 x４ 、x ６ ． 极大值和极小值统称为极值 ， 而极大值点和极小值点则统称为极值点 在导数都存在的前提下 ， 极值点一定是相应函数单调增区间及单调减区间的分界点 ， 从而是函数的驻点 ， 函数曲线在该点的切线是水平的 ． 但反过来 ， 我们却不能说一个函数的驻点一定是其极值点 ． 例如 ， 在函数 因此 ， 要找到函数 y＝ f（ x ） 的极值点 ， 通过f ′（ x ０ ） ＝０ 找到驻点 x ＝ x０ 只是第一步 ， 还要根据驻点附近f ′（ x ） 的符号才能断定x０ 是否为f （ x ） 的极值点 ． 具体地说 ， 我们有如下定理 ： 解 　 对函数求导 ， 得f ′（ x ） ＝－２ x ＋６． 令f ′（ x ） ＝０ ， 解得x＝３ ， 从而 x＝３ 为函数 y ＝ f （ x ） 的唯一驻点 ． 把该驻点与其两侧的区间列表如下 ： 因此 ， y ＝ f （ x ） 在区间 （ －∞ ， ３ ） 内严格增 ， 在区间 （ ３ ， ＋∞ ）内严格减 ， 在 x ＝３ 处取得极大值 f（ ３ ） ＝８． 例7.求正弦函数 y＝ｓｉｎ x 的单调区间和极值 ． 解 　 这是一个周期为２π的周期函数 ． 记 f（ x ） ＝ｓｉｎ x， 因此 ， 对任意给定的 k ∈Z ， 正弦函数 y＝ｓｉｎx 在区间 课本练习 宋老师数学精品工作室 １． 求余弦函数 y ＝ｃｏｓ x 的单调区间和极值 ． 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 随堂检测 宋老师数学精品工作室 1、函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图像如图所示，则函数f(x)（ ） A．无极大值点，有四个极小值点 B．有三个极大值点，两个极小值点 C．有两个极大值点，两个极小值点 D．有四个极大值点，无极小值点 【答案】C； 【解析】设y＝f′(x)的图像与x轴的交点从左到右横坐标依次为x1，x2，x3，x4，则f(x)在x＝x1，x＝x3处取得极大值，在x＝x2，x＝x4处取得极小值； 宋老师数学精品工作室 2、已知函数y＝x－ln(1＋x2)，则函数y＝x－ln(1＋x2)的极值情况是（ ） A．有极小值 B．有极大值 C．既有极大值又有极小值 D．无极值 【答案】D； 3、函数)f(x)＝x3－3x2－9x＋5的极大值为 ；极小值为 x (－∞，－1) －1 (－1,3) 3 (3，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 增加 极大值 减少 极小值 增加 【答案】10；－22； 【解析】函数f(x)＝x3－3x2－9x＋5的定义域为R，且f′(x)＝3x2－6x－9； 解方程3x2－6x－9＝0，得x1＝－1，x2＝3； 当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表： 因此，x＝－1是函数的极大值点，极大值为f(－1)＝10； x＝3是函数的极小值点，极小值为f(3)＝－22； 宋老师数学精品工作室 4、已知函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3处取得极值，则a＝ 【答案】5； 【解析】由f′(x)＝3x2＋2ax＋3，由题意得f′(－3)＝0，解得a＝5； 5、已知函数y＝3x－x3＋m的极大值为10，则m的值为___