江苏省南京市第九中学2022-2023学年高二上学期期末模拟检测数学试卷

2022-2023学年高二期末模拟检测 数学 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1. 已知点,直线,点R是直线l上的一个动点,若P是RA的中点,则点P的轨迹方程为( ) A. B. C. D. 2. 已知在圆上恰有两个点到原点的距离为,则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 3. 古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的中心为原点,焦点,均在x轴上,椭圆C的面积为,且短轴长为,则椭圆C的标准方程为( ) A. B. C. D. 4. 已知,则动点P的轨迹是( ) A. 双曲线 B. 双曲线左边一支 C. 一条射线 D. 双曲线右边一支 5. 对于一切实数x,令为不大于x的最大整数,则函数称为高斯函数或取整函数.若,,为数列的前n项和,则( ) A. B. C. D. 6. 若正项数列中,,,则的值是( ) A. B. C. D. 7. 函数的图象大致为( ) A. B. C. D. 8. 已知函数,则“”是“是的极小值点”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分。 9. 设有一组圆:,下列说法正确的是( ) A. 这组圆的半径均为1 B. 直线平分所有的圆 C. 直线被圆截得的弦长相等 D. 存在一个圆与x轴和y轴均相切 10. 已知双曲线的左、右顶点分别为A,B,点P是C上的任意一点,则下列结论正确的是( ) A. 若直线与双曲线C无交点,则 B. 焦点到渐近线的距离为2 C. 点P到两条渐近线的距离之积为 D. 当P与A,B不重合时,直线PA,PB的斜率之积为2 11. 已知数列是公差为d的等差数列,若存在实数d,使得数列满足:可以从中取出无限多项,并按原来的先后次序排成一个等差数列,则下列结论正确的是( ) A. 符合题意的数列有无数多个 B. 符合题意的实数d有无数多个 C. 符合题意的数列仅有一个 D. 符合题意的实数d仅有一个 12. 设,在上可导,且,则当时,有( ) A. B. C. D. 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。 13.已知m,n,a,,且满足,,则的最小值为_. 14.从抛物线的准线l上一点P引抛物线的两条切线、,且A、B为切点,若直线的倾斜角为,则P点的横坐标为_. 15.设数列满足,,,数列前n项和为,且且若表示不超过x的最大整数,,数列的前n项和为,则的值为_. 16.已知对任意都成立,则实数a的最小值是_. 四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(10分)如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的长为2,宽为1,AB,AD边分别在x轴、y轴的正半轴上,A点与坐标原点重合,将矩形折叠,使A点落在线段DC上,设此点为 若折痕的斜率为,求折痕所在的直线的方程; 若折痕所在直线的斜率为k,为常数,试用k表示点的坐标,并求折痕所在的直线的方程; 当时,求折痕长的最大值. 18.(12分)在平面直角坐标系中,圆M是以,两点为直径的圆,且圆N与圆M关于直线对称. 求圆N的标准方程; 设,,过点C作直线,交圆N于P、Q两点,P、Q不在y轴上. 过点C作与直线垂直的直线,交圆N于E、F两点,记四边形EPFQ的面积为S,求S的最大值; 设直线OP,DQ相交于点G,试讨论点G是否在定直线上,若是,求出该直线方程;若不是,说明理由. 19.(12分)已知抛物线E的顶点在原点,焦点为,过焦点且斜率为k的直线交抛物线于P,Q两点, 求抛物线方程; 若,求k的值; 过点作两条互相垂直的直线分别交抛物线E于A,B,C,D四点,且M,N分别为线段AB,CD的中点,求面积的最小值. 20.(12分)已知正项数列的前n项和为,且 求数列的通项公式; 若,数列的前n项和为,求的取值范围; 若,从数列中抽岀部分项奇数项与偶数项均不少于两项,将抽出的项按照某一顺序排列后构成等差数列.当等差数列的项数最大时,求所有满足条件的等差数列. 21.(12分)设函数 若,求的极值; 讨论函数的单调性; 若,证明:… 22.(12分)已知抛物线上有一动点,,过点P作抛物线C的切线l交y轴于点 判断线段的垂直平分线是否过定点?若过,求出定点坐标;若不过,请说明理由; 过点P作l的垂线交抛物线C于另一点M,若切线l的斜率为k,设的面积为S,求的最小值. 参考答案 1.【答案】C 【解析】 解:设,, 已知,由P是RA的中点, ,则①. 点R是直线