2023年中考数学专题——锐角三角函数与圆的综合计算

2023年中考数学专题——锐角三角函数与圆的综合计算 一、综合题 1．如图，点A、B、C在圆O上，AB为直径，且AB=4，AC=2． （1）求∠ABC的度数； （2）求弧AC的长度． 2．如图，已知：射线PO与⊙O交于A、B两点，PC、PD分别切⊙O于点C、D． （1）请写出两个不同类型的正确结论； （2）若CD=12，tan∠CPO= ，求PO的长． 3．如图，C是圆O被直径AB分成的半圆上一点，过点C的圆O的切线交AB的延长线于点P，连接CA，CO，CB． （1）求证：∠ACO＝∠BCP； （2）若∠ABC＝2∠BCP，求∠P的度数； （3）在（2）的条件下，若AB＝4，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）． 4．如图，已知为的直径，点为外一点，，连接，是的垂直平分线，交于点，垂足为点，连接、，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的值． 5．如图，在中，，D是边上一点，以为直径的与相切于点E，连接并延长交的延长线于点F. （1）求证：； （2）若，求直径. 6．如图，的直径，点为上一点，为的切线，于点，分别交，于，两点. （1）求证：； （2）若，求图中两处（点左侧与点右侧）阴影部分的面积之和. 7．如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，点D是⊙O外一点，∠BCD=∠BAC，连接OD交BC于点E. （1）求证：CD是⊙O的切线． （2）若CE=OA，sin∠BAC= ，求tan∠CEO的值 8．如图，为直径，C、D为上不同于A、B的两点，，连接CD，过点C作，垂足为E，直线与相交于F点． （1）求证：为的切线； （2）当时，求的长． 9．如图，AB为的直径，点C在上，过点C作切线CD交BA的延长线于点D，过点O作交切线DC于点E，交BC于点F. （1）求证：； （2）若，，求EF的长. 10．如图，在RtABC中，，点O为BC上一点，以O为圆心、OB为半径的⊙切AC于点D，连接OA、BD、OA与BD相交于点E. （1）求证：BD平分； （2）若，⊙的半径为10，求OE的长. 11．如图，在中，，AB与相切于点C，延长BO交于点P、Q．连接CP，CQ． （1）若，求的大小． （2）若，的半径为．求边AB的长度． 12．已知：如图，是的直径C，D是上两点，过点C的切线交的延长线于点E，，连接． （1）求证：； （2）若，求的半径． 13．图，AB是的弦，D为半径OA的中点，过点D作交弦AB于点E，交于点F，且CE＝CB，连接AF，BF． （1）求证：BC是的切线； （2）求∠ABF的度数； （3）如果BE＝4，，求的半径． 14．如图，⊙O的半径为3，MN与⊙O相切于点N，MB交⊙O于点A、B，点D在MB上，且MD＝MN.连接ND并延长交⊙O于点E，连接OE交MB于点F. （1）求证：AF＝BF； （2）连接AN，若∠AND＝∠DEF，sinM＝，求MD的长. 15．如图，已知AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，⊙O的弦ADCO，连接DB交CO于点F，延长CO与⊙O交于点E，连接EB. （1）求证：CD是⊙O的切线. （2）求证：2BF2=AD⋅CF. （3）若，OC=5，求tan∠ABE的值. 16．如图，在四边形中，，以为直径作平分，动点P在左侧的半圆O上（P与点A，B均不重合）. （1）求证：是的切线； （2）记（1）中的切点为E，若，求的值. 17．如图，是的直径，C、D是圆上的两点，且，的平分线交于点E，过E作的垂线，垂足为F． （1）求证：是的切线； （2）连接，交于点G，若已知，，求的长． 18．如图，以 的边 为直径的 交 于点F，点E是 的中点，连接 并延长交 于点D，若 ． （1）求证： 是 的切线； （2）若 的半径为2， ，求 的长． 19．如图，已知内接于，是该圆的直径，是上的点，线段与交于点，若，，，． （1）试用含的代数式表示； （2）若，求的值； （3）若，求． 20．如图，在 中，点O在斜边 上，以O为圆心， 为半径作圆，分别与BC，AB相交于点D，E，连接 ．已知 ． （1）求证： 是 的切线． （2）若 ，求 的半径． 答案解析部分 1．【答案】（1）解：∵AB为直径，∴∠C=90°，∵AB=4，AC=2， ∴sin∠B= = ， ∴∠ABC=30° （2）解：连接OC，∵∠B=30°， ∴∠AOC=60°， ∴弧AC的长度= = π 【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得∠C=90°，在直角三角形ABC中，根据sin∠B= ，可求出∠B的正弦值，再由特殊角的三角函数值可求得∠ABC的度数。 （2）连接OC，由（1）知∠B=30°，则∠AOC的度数可求，而弧AC的长度=n