湖南省衡阳市第八中学2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题

衡阳市八中2021级高二上期期末考试 数 学 试 题 命题人：周正午 审题人：罗欢 注意事项：本试卷满分为150分，时量为120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知复数的共轭复数，则复数的虚部为（    ） A． B． C．1 D． 3．已知向量均为单位向量，且，则（    ） A．2 B． C．4 D． 4．抛物线的焦点到其准线的距离为（    ） A． B． C．2 D．4 5．沙漏是我国古代的一种计时工具，是用两个完全相同的圆锥顶对顶叠放在一起组成的（如图）.在一个圆锥中装满沙子，放在上方，沙子就从顶点处漏到另一个圆锥中，假定沙子漏下来的速度是恒定的（沙堆的底面是水平的）.已知一个沙漏中沙子全部从一个圆锥漏到另一个圆锥中需用时27分钟，则经过19分钟后，沙漏上方圆锥中的沙子的高度与下方圆锥中的沙子的高度之比是（    ） A．1:1 B．2:1 C．2:3 D．3:2 6．设，，，则（    ） A． B． C． D． 7．已知函数），若在（0，π）上有2个极大值，则的取值范围是（    ） A．[，） B．[，] C．（，] D．（，] 8．在正方体中，，点是线段上靠近点的三等分点，在三角形内有一动点（包括边界），则的最小值是（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．已知空间中三点，，，则下列结论正确的有（    ） A． B．与共线的单位向量是 C．与夹角的余弦值是 D．平面的一个法向量是 10．已知函数，则（    ） A．是的极小值点 B．有两个极值点 C．的极小值为 D．在上的最大值为 11．设等比数列的公比为，其前和项和，前n项积为，且满足条件，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C．是数列中的最大项 D． 12．公元前 300 年前后， 欧几里得撰写的《几何原本》是最早有关黄金分割的论著， 书中描述： 把一条线段分割为两部分， 使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值， 则这个比值即为“黄金分割比”， 把离心率为 “黄金分割比” 倒数的双曲线叫做 “黄金双曲线”． 黄金双曲线 的一个顶点为， 与不在轴同侧的焦点为，的一个虚轴端点为，为双曲线任意一条不过原点且斜率存在的弦， 为中点． 设双曲线的离心率为， 则下列说法中， 正确的有（    ） A． B． C． D．若， 则恒成立 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．甲、乙、丙、丁、戊5名学生进行某种劳动技能比赛，决出第1名到第5名的名次.甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”，对乙说：“你当然不会是最差的”，从这个回答分析，5人的名次排列共可能有__________种不同的情况.（用数字作答） 14．已知圆的圆心为，且有一条直径的两个端点分别在两坐标轴上，若直线与交于两点，，则实数__________． 15．已知，为正实数，直线与曲线相切，则的最小值是__________. 16．已知函数是定义在上的偶函数，记为函数的导函数，且满足，则不等式的解集为__________. 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．已知分别为内角的对边，且 (1)求角； (2)若的面积为，求的值. 18．( 12分）在数列中,,,设. （1）证明：数列是等差数列并求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 19．( 12分）在三棱锥中，，，，分别为，的中点，，，分别为，，的中点，平面，与平面所成的角为． (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 20．( 12分）2022年7月1日是中国共产党建党101周年，某党支部为了了解党员对党章党史的认知程度，针对党支部不同年龄和不同职业的人举办了一次“党章党史”知识竞赛，满分100分分及以上为认知程度高，结果认知程度高的有m人，按年龄分成5组，其中第一组：第二组：第三组：第四组：第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人． (1)根据频率分布直方图，估计这m人的平均年龄和第80百分位数； (2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任“党章党史”的宣传使者．若有甲年龄，乙年龄两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率. 21．( 12分）已知点为椭圆C：上一点，A、B分别为C的左、右顶点，且的面积为5． (1)求C的标准方程； (2)过点的直线l与C相交于点M，N（点M在