精品解析：北京景山学校远洋分校2023届高三上学期1月期末综合检测数学试题

北京景山学校远洋分校2023年1月期末综合检测 高三数学 2023.1 本试卷共 6 页， 150 分.考试时长 120 分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 若集合，或，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则复数的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 盒子里有5个球，其中有2 个白球和3个红球，每次从中抽出1个球，抽出的球不再放回，则在第1次抽到白球的条件下，第2次抽到红球的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 若角的终边过点，则（ ） A. B. C. D. 5. 设a，b均为单位向量，则“”是“a⊥b”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知函数过原点，下列函数中，与的奇偶性相同且在上有相同单调性的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线过抛物线的焦点，虚轴端点是圆与坐标轴的交点，则此双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 8. 植物研究者在研究某种植物1-5年内的植株高度时，将得到的数据用下图直观表示.现要根据这些数据用一个函数模型来描述这种植物在1-5年内的生长规律，下列函数模型中符合要求的是（ ） A. (且 ) B (，且 ) C. D. 9. 正方体棱长为，是棱的中点， 是正方形及其内部的点构成的集合．设集合，则集合表示的区域面积是（ ） A B. C. D. 10. 设、、、. 记为平行四边形内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 在的展开式中，的系数为_________．（用数字作答） 12. 设是等差数列，且，，则的通项公式为__________． 13. 函数的定义域是__________，最小值是__________． 14. 曲线上存在四个点满足四边形是正方形，则实数的取值范围是________． 15. 已知数列的各项均为正数，的前n项和满足．给出下列四个结论： ①的第2项小于1； ②为常数列； ③为递增数列； ④中存在小于的项． 其中所有正确结论的序号是____________． 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 在中，． （1）求； （2）求边上的高． 17. 如图，在四棱锥中，， ，，，，．是棱上一点， 平面． （1）求证：为的中点； （2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求四棱锥的体积． 条件 ①：点到平面距离为； 条件 ②：直线与平面所成的角为． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 18. 在测试中，客观题难度的计算公式为，其中为第题的难度，为答对该题的人数，为参加测试的总人数．现对某校高三年级240名学生进行一次测试，共5道客观题．测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示： 题号 1 2 3 4 5 考前预估难度 0.9 0.8 0.7 0.6 0.4 测试后，随机抽取了20名学生的答题数据进行统计，结果如下： 题号 1 2 3 4 5 实测答对人数 16 16 14 14 4 （1）根据题中数据，估计这240名学生中第5题实测答对人数； （2）从抽样的20名学生中随机抽取2名学生，记这2名学生中第5题答对的人数为X，求X的分布列和数学期望； （3）定义统计量，其中为第题的实测难度，为第题的预估难度．规定：若，则称该次测试的难度预估合理，否则为不合理．判断本次测试的难度预估是否合理. 19. 已知椭圆的离心率为，以椭圆的任意三个顶点为顶点的三角形的面积是． （1）求椭圆的方程； （2）设为原点，A为椭圆的左顶点，是椭圆上不同于点A的两点，且直线的斜率之积等于．求与的面积比值． 20 已知函数． （Ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）求证：存在唯一的，使得曲线在点处的切线的斜率为； （Ⅲ）比较与的大小，并加以证明． 21. 数字的任意一个排列记作，设为所有这样的排列构成的集合.集合任意整数都有，集合任意整数都有 （1）用列举法表示集合； （2）求集合的元素个数； （3）记集合的元素个数为，