专题3 第4讲 空间角与距离、空间向量及其应用（教参）-【高考前沿】2023高考数学第二轮复习·超级考生备战高考（人教版 新教材 新高考）

立体几何《专题三 第4讲 空间角与距离、空间向量及其应用 常考考点X清单 CHANGKAO KAODIAN QINGDAN 考点一 用向量法证明空间中的平行和垂直 (2)二面角公式：设1、n2分别为平面a、3的法向量，二面 设直线，山1，l2的方向向量分别为y,1,2,平面α和平 角为0，则0=(n1,n2)或0=π-〈1，n2)(需要根据具体情 面β的法向量分别为m,n. 况判断相等或互补)，其中cos(m1,n2)=n1:m2 1.1∥l2(或1与l2重合)台1∥2；l1⊥2台y1⊥2台9y1·2 nn2 =0. 2.用向量法求空间距离 2.与平面a共面的两个不共线向量分别为a和b,则l∥a或 (1)点面距离：已知平面a外一点B(x0,yo,o),平面a内 lCa台存在两个实数x,y,使v=x0十b. 一点A(x1,y1,1),平面a的一个法向量n,则点B到平 3.l∥a或l二a台vm:lL台v∥m 4.a∥3=m∥n;a⊥3=m⊥n台m·n=0. 面a的距离为d=BA·n n 考点二 用向量法求空间角和空间距离 [注意]线面、面面距离均可转化为点到平面的距离，用 1.用向量法求空间角 点到平面的距离公式求解. (1)线面所成角公式：设l为平面a&的斜线，a为l的方向 (2)两点间的距离：已知点A(x1,y1,1),B(x2,y2,2), 向量，n为平面a的法向量，0为l与a所成的角，则sin0 则A,B两点间的距离为|AB|= a·n =cos(a,n〉= a n √/(.x2-x1)2+(y2-y1)2+(2-1)2. 重要X技能X拓X展 ZHONGYAO JINENG TUOZHAN 考法一 求解直线与平面所成角的方法 [解](1)证明：因为AD=CD,∠ADB=∠CDB,DB =DB, 1.定义法 所以△ADB≌△CDB,所以AB=BC. (1)作：在斜线上选取恰当的点，过该点向平面引垂线，作 因为E为AC的中，点，所以AC⊥BE,ACI DE. 出所求角，其中确定垂足的位置是关键； (2)证：证明所作的角为直线与平面所成的角； 又BE∩DE=E,BE,DEC平面BED, (3)求：构造角所在的三角形，利用解三角形的知识求角. 所以AC⊥平面BED, 2.公式法 又ACC平面ACD,所以平面BED⊥平面ACD. (2)因为AB=BC=2,∠ACB=60°，所以△ABC为正三 sm0=冬（其中A为斜线上除斜足外的任一点到所给平 角形，则AC=2,BE=√3，AE=1. 面α的距离，l为该点到斜足的距离，0为斜线与平面α所 因为AD=CD,AD⊥CD,所以△ADC为等腰直角三角 成的角). 形，所以DE=1. 3.向量法 所以DE2+BE2=BD2,则DE⊥BE. sin9=Icos(A,n1=AB·n(其中AB为平面a的斜 由(I)可知，AC⊥平面BED.连接EF,因为EFC平面 ABn BED,所以AC⊥EF,当△AFC的面积最小时，点F到直 线，n为平面α的法向量，0为斜线与平面α所成的角). 线AC的距离最小，即EF的长度最小.在Rt△BED中， [例1](2022·全国乞卷)如图，四面体ABCD中，AD⊥ CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC,E为AC的中点. 当EF的长度最小时，EF⊥BD,EF=DE,BE- BD 法一：又DE⊥AC,BE⊥AC, D 所以EA,EB,ED两两垂直， 以E为坐标原点，EA,EB,ED 所在的直线分别为x,y,之轴建 立如图所示空间直角坐标系 (1)证明：平面BED⊥平面ACD; (2)设AB=BD=2,∠ACB=60°，点F在BD上，当△AF℃ Exy2,则A(1,0,0),B(0,W3,0),D(0,0,1),C(-1,0, 的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值. 0),AB=(-1W3,0),DB=(0W3,-1). 93 第一部分·攻克六大堡垒 易得DF=,FB=号，所以3D=F成设F0y,则 所以点C到平面ABD的距离d=2y2四 7 DF=(0,y,-1),FB=(0W3-y-x),所以3(0，y2 FC-VFE+EC_ 21 1)=05-,得y9=是即r(.,） 记CF与平面ABD所成的角为a,则sina=CF=7 d_43 所以C庄-(1，，）： [规律总结] 设平面ABD的法向量为n=(x1y1,21), 直接法；利用公式cos0=cos01·cos02(最小角定理)： 「n·AB=-x1+√3y1=0, 利用公式sn0-么：向量法：直线与平面所成的角0主要通 则 n.DB=3y1-1=0, 过直线的方向向量与平面的法向量的夹角9求得，即sin0 不妨取y1=1,则x1=√5,1=√5，n=(w3,1,w3). =cos,有时也可分别求出斜线与