专题2 第3讲 数列求和、数列的综合（教参）-【高考前沿】2023高考数学第二轮复习·超级考生备战高考（人教版 新教材 新高考）

数列《专题二 第3讲数列求和、数列的综合 常X考X考X点X清X单 CHANGKAO KAODIAN QINGDAN 考点一 数列求和 5.分组求和法 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这 1.公式法 类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列， (1)直接用等差、等比数列的求和公式求解 即先分别求和，再合并，形如： (2)掌握一些常见的数列的前n项和公式： {an}是等差数列， 2+4十6+…十2n=n2+n; (1){an+bn},其中 {bn}是等比数列： 1+3+5+…+(2n-1)=n2; |f(n),n=2k-1,k∈N*, 12+22+32+…+n2=n(n+1)(21+1D, (2)an= g(n),n=2k,k∈N". 6 6.并项求和法 13+23+33+…+n3 形如an=(一1)”n,am=(一1)”n2等，在求和过程中可将 2 两项并作一项进行求和. 2.倒序相加法 如果一个数列{am},与首末两端等“距离”的两项的和相 考点二 数列的综合 等或等于同一常数，那么求这个数列的前n项和即可用 1.数列与函数综合问题 倒序相加法。 ()已知函数求解数列问题时，一般利用函数的图象与 3.错位相减法 性质. (2)已知数列求解函数问题时，一般要利用数列的通项公 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列 式、前n项和公式、求和方法等对式子化简变形. 的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可用 (3)数列只能看作自变量为正整数的一类函数，在解决问 此法来求。 题时要注意这一特殊性. 4.裂项相消法 2.数列与不等式的综合问题 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可 (1)判断数列问题中的不等关系时，可以利用数列的单调 以相互抵消，从而求得其和.以下为常见的拆项公式： 性，或者借助数列对应函数的单调性、作差或作商比较 1 11 大小； (1) n(n+1)nn+1 (2)以数列为载体，考查不等式的恒成立问题时，可转化 1 1/11 为数列的最值问题，可利用数列单调性或数列对应函数 (2)2m-1)(2m+D=22m2m+)9 的单调性； 3) =√n十I-√元. (3)解决与数列有关的不等式的证明问题时，可构造函数 n+√/n+1 证明，或利用放缩法证明. 重》 要技能拓展 ZHONGYAO JINENG TUOZHAN 考法一 错位相减法求和 [例1]设{am}是首项为1的等比数列，数列{bn}满足b,= 1.当{am}是等差数列，{bn}是等比数列时，求数列{am·bn} 学已知a1,ag0a:成等差数列 的前n项和常采用错位相减法。 (1)求{an}和{bn}的通项公式； 2.用错位相减法求和时，应注意： (2)记Sm和T,分别为{an}和{bn}的前n项和.证明：Tm (1)要善于识别题目类型，特别是等比数列的公比为负数 的情形 (2)在写出“Snm”与“qSm”的表达式时应特别注意将两式 [解](1)设{am}的公比为q,则am=g”-1. “错项对齐”，以便于下一步准确地写出“S,一qSn”的表 因为a1,3a2,9a3成等差数列， 达式 所以1+9g2=2×3q,解得9=3， (3)应用等比数列求和公式必须注意公比q是否等于1， 如果q=1,那么应用公式Sn=a1 故a=36,=品 1 51 第一部分·攻克六大堡垒 1 (2)证明：由(1)知Sm= 22n+=1 1 13 2,所以T,=2-2 1 2 =+++…叶0 因为T+1-.=(2-2”）-(-）- 2n 3”3，② >0, 所以数列{T}单调递增，T最小，最小值为2 3”3+1, 即号Tn 号1-) 所以2X2≥m-2022.所以m<2023 1 品=(-)-”理 故正整数m的最大值为2022. 考法二 裂项相消法求和 得T,-32m+3 4 4×3” 1.对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列，在求和时 常用“裂项法”，分式型数列的求和多用此法. 则2T,-5-2(骨)-（1-）-票<0， 2.利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下 1受 第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两 项.将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的 [规律总结] 两项之差和系数之积与原通项相等， 错位相减法求数列{anbn}的前n项和 [例2](2022·新高考全国卷I)记Sm为数列{an}的前n 基本步骤 展开 Sn=ab,+agb++a。1'bnta.bn① 顶和，已知01=1，合)是公若为号的等差数列 (1)求{an}的通项公式： 乘公比 qSn=a1·b2u2b3++ae-1'bn+an'bn+1② （②i证明+十…+2 an 错位相减①-②：得(1-g)S。a1b1la2b2l…lan-b