第三课时 1.3分段函数-新课程新课标《初高中数学衔接课程》

1.3分段函数（第3课时） 【学习目标】 1.理解分段函数也是函数的一种表现形式； 2.学会应用解析式和图象法表示分段函数，给出分段函数能研究其性质； 3.能应用分段函数解决一些简单的求值等数学问题。 【知识整合】 1.分段函数：若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同式子来表示，这种函数称为分段函数． 分段函数的本质：函数在定义域不同的范围内，有着不同的对应关系． 注意点：分段函数的定义域是各段范围的并集，值域为各段上值域的并集． 2.常见经典分段函数：狄利克雷函数、符号函数、取整函数、绝对值函数等. 【探究过程】 问题1.应用分段函数求值(范围)问题 提出问题：函数y＝是两个函数吗？ 【探究1】已知函数f (x)＝ (1)求f(－5)，f(1)，； (2)若f(a2＋2)≥a＋4，求实数a的取值范围． 【变式探究】 1．本例条件不变，若f(a)＝3，求实数a的值． 2．本例条件不变，若f(x)>2x，求x的取值范围． 【思维提升】(1)分段函数求值方法： ①先确定自变量所在区间；②代入该段的解析式求值．当求f(f(x0))时，应从内到外依次求值． (2)已知分段函数函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解． 【针对训练1】(1)已知f(x)＝使f(x)≥－1成立的x的取值范围是(　　) A．[－4,2) B．[－4,2] C．(0,2] D．(－4,2] (2)函数f(x)＝若f(x0)＝8，则x0＝________. (3)已知若，则实数的值为（     ） A．1 B．4 C．1或4 D．2 问题2.分段函数的图象及求值 【探究2】若分段函数图象关于原点对称，求参数的值为 　　 ． 【针对训练2】已知函数f(x)＝－x2＋2，g(x)＝x，令φ(x)＝min{f(x)，g(x)}(即f(x)和g(x)中的较小者)． (1)分别用图象和解析式表示φ(x)； (2)求函数φ(x)的定义域，值域． 【思维提升】分段函数图象的画法 (1)分别作出各段图象，先不管定义域的限制，作出图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏；(2)对含有绝对值的函数图象，首先去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象． 【针对训练3】函数f(x)的图象如图所示，求函数f(x)的解析式． 问题3.分段函数的应用 【探究3】某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： (1)5 km以内(含5 km)，票价2元； (2)5 km以上，每增加5 km，票价增加1元(不足5 km的按5 km计算)． 已知某条线路的总里程为20 km，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象． 【课堂限训】(10分钟) 1.著名的Dirichlet函数D(x)＝ 则D(D(x))等于(　　) A．0 B．1 C. D. 2.(教材改编题)函数y＝f(x)的图象如图所示，观察图象可知函数y＝f(x)的定义域、值域分别是(　　) A．[－5,0]∪[2,6)，[0,5] B．[－5,6)，[0，＋∞) C．[－5,0]∪[2,6)，[0，＋∞) D．[－5，＋∞)，[2,5] 3.设x∈R，定义符号函数sgn x＝则函数f(x)＝|x|sgn x的图象大致是(　　) 4.（教材改编题）《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过5 000元的部分不必纳税，超过5 000元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累计计算： 全月应纳税所得额 税率 不超过3 000元的部分 3% 超过3 000元至12 000元的部分 10% 超过12 000元至25 000元的部分 20% 某职工每月收入为x元，应交纳的税额为y元． (1)请写出y关于x的函数关系式； (2)有一职工八月份交纳了54元的税款，请问该职工八月份的工资是多少？ 5.已知函数f(x)＝求不等式f(x)<2成立的x的值组成的集合． 【课堂小结】 1.进一步理解分段函数的概念及求值方法，尤其澄清分段端点归属误区； 2.提升对分段函数图象及应用的思维方法认知，掌握分类讨论和数形结合思想方法。 【课外作业】 1.设函数f(x)＝若f(a)＝a，则实数a的值为(　 　) A．±1 B．－1 C．－2或－1 D．±1或－2 2.设x∈R，则函数y＝2|x－1|－3|x|的值域为______________． 3.已知f(x)＝图象关于原点对称，求f(g(－3))值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3分段函数（第3课时） 【学习目标】 1.理解分段函数也是函数的一种表现形式； 2.学会应用解析式和图象法表示分段函数，给出分段函数能研究其性质； 3.能应用分段函数解决一些简单的求值等数学问题。 【知识整合】 1.分段函数：若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同式子来表示，这种函数称为分段函数． 分段函数的本质：函数在定义域不同的范围内，有着不同的对应关系． 注意点：分段函数的定义域是各段范围的并集，值域为各段上值域的并集． 2.常见经典分段函数：狄利克雷函数、符号函数、取整函数、绝对值函数等. 【探究过程】 问题1.应用分段函数求值(范围)问题 提出问题：函数y＝是两个函数吗？ 【提示】是一个函数，只不过x的取值范围不同，解析式不同． 【探究1】已知函数f (x)＝ (1)求f(－5)，f(1)，； (2)若f(a2＋2)≥a＋4，求实数a的取值范围． 【解】(1)由－5∈(－∞，－2]，1∈(－2,2)，－∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4， f(1)＝3×1＋5＝8， (2)因为a2＋2≥2，所以f(a2＋2)＝2(a2＋2)－1＝2a2＋3， 所以不等式f(a2＋2)≥a＋4化为2a2－a－1≥0，解得a≥1或a≤－， 即实数a的取值范围是∪[1，＋∞)． 【变式探究】1．本例条件不变，若f(a)＝3，求实数a的值． 【解】当a≤－2时，f(a)＝a＋1＝3，即a＝2>－2，不符合题意，舍去； 当－2<a<2时，f(a)＝3a＋5＝3，即a＝－∈(－2,2)，符合题意； 当a≥2时，f(a)＝2a－1＝3，即a＝2∈[2，＋∞)，符合题意． 综上可得，当f(a)＝3时，a的值为－或2. 2．本例条件不变，若f(x)>2x，求x的取值范围． 【解】当x≤－2时，f(x)>2x可化为x＋1>2x，即x<1，所以x≤－2； 当－2<x<2时，f(x)>2x可化为3x＋5>2x，即x>－5，所以－2<x<2； 当x≥2时，f(x)>2x可化为2x－1>2x，则x∈∅. 综上可得，x的取值范围是(－∞，2)． 【思维提升】(1)分段函数求值方法： ①先确定自变量所在区间；②代入该段的解析式求值．当求f(f(x0))时，应从内到外依次求值． (2)已知分段函数函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解． 【针对训练1】(1)已知f(x)＝使f(x)≥－1成立的x的取值范围是(　　) A．[－4,2) B．[－4,2] C．(0,2] D．(－4,2] 【解】B　当x≤0时，f(x)≥－1即x＋1≥－1，解得x∈[－4,0]； 当x>0时，f(x)≥－1即－(x－1)2≥－1，解得x∈[0,2]， 综上，x∈[－4,2]． (2)函数f(x)＝若f(x0)＝8，则x0＝________. 【解】－或10 当x0≤2时，f(x0)＝x＋2＝8，即x＝6，∴x0＝－或x0＝(舍去)； 当x0>2时，f(x0)＝x0＝8，∴x0＝10. 综上可知，x0＝－或x0＝10. （3）已知若，则实数的值为（     ） A．1 B．4 C．1或4 D．2 【解】B；当时，，则，解得：（舍去）； 当时，，则，解得：.故选：B. 问题2.分段函数的图象及求值 【探究2】若分段函数图象关于原点对称，求参数的值为 　　 ． 【解】函数图象关于原点对称，， （1），，即，求得或． 当时，不关于原点对称，故； 当时，满足题意，故， 综上，，故答案为：1． 【针对训练2】已知函数f(x)＝－x2＋2，g(x)＝x，令φ(x)＝min{f(x)，g(x)}(即f(x)和g(x)中的较小者)． (1)分别用图象和解析式表示φ(x)； (2)求函数φ(x)的定义域，值域． 【解】(1)在同一个坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象如图①. 由图①中函数取值的情况，结合函数φ(x)的定义，可得函数φ(x)的图象如图②. 令－x2＋2＝x，得x＝－2或x＝1. 结合图②，得出φ(x)的解析式为φ(x)＝ (2)由图②知，φ(x)的定义域为R，φ(1)＝1，∴φ(x)的值域为(－∞，1]． 【思维提升】分段函数图象的画法 (1)分别作出各段图象，先不管定义域的限制，作出图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏；(2)对含有绝对值的函数图象，首先去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象． 【针对训练3】函数f(x)的图象如图所示，求函数f(x)的解析式． 【解】当x<－1时，设f(x)＝ax＋b，则解得所以f(x)＝x＋2； 当－1≤x≤2时，设f(x)＝kx2，由4＝k·22得k＝1，所以f(x)＝x2； 当x>2时，设f(x)＝cx＋d，则解得所以f(x)＝2x， 综上f(x)＝ 问题3.分段函数的应用 【探究3】某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： (1)5 km以内(含5 km)，票价2元； (2)5 km以上，每增加5 km，票价增加1元(不足5 km的按5 km计算)． 已知某条线路的总里程为20 km，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象． 解　设票价为y元，里程为x公里．由题意可知，自变量x的取值范围是(0,20]． 由“招手即停”公共汽车票价的制定规则，可得到以下函数解析式． y＝ 函数图象如图． 【课堂限训】(10分钟) 1.著名的Dirichlet函数D(x)＝ 则D(D(x))等于(　　) A．0 B．1 C. D. 【解】B∵D(x)∈{0,1}，∴D(x)为有理数，∴D＝1. 2.(教材改编题)函数y＝f(x)的图象如图所示，观察图象可知函数y＝f(x)的定义域、值域分别是(　　) A．[－5,0]∪[2,6)，[0,5] B．[－5,6)，[0，＋∞) C．[－5,0]∪[2,6)，[0，＋∞) D．[－5，＋∞)，[2,5] 【解】C 由图象可知，函数的定义域即为自变量的取值范围，即[－5,0]∪[2,6)， 值域即为因变量的取值范围，即[0，＋∞)． 3.设x∈R，定义符号函数sgn x＝则函数f(x)＝|x|sgn x的图象大致是(　　) 【解】C　由题意知f(x)＝则f(x)的图象为C中图象所示． 4.（教材改编题）《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过5 000元的部分不必纳税，超过5 000元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累计计算： 全月应纳税所得额 税率 不超过3 000元的部分 3% 超过3 000元至12 000元的部分 10% 超过12 000元至25 000元的部分 20% 某职工每月收入为x元，应交纳的税额为y元． (1)请写出y关于x的函数关系式； (2)有一职工八月份交纳了54元的税款，请问该职工八月份的工资是多少？ 解　(1)由题意， 得y＝ (2)∵该职工八月份交纳了54元的税款，∴5 000<x≤8 000，(x－5 000)×3%＝54， 解得x＝6 800.故这名职工八月份的工资是6 800元． 5.已知函数f(x)＝求不等式f(x)<2成立的x的值组成的集合． 【答案】 【解】由题意可得或 由解得1≤x<； 由解得x<－或<x<1. 综上所述，使f(x)<2成立的x的值组成的集合为. 【课堂小结】 1.进一步理解分段函数的概念及求值方法，尤其澄清分段端点归属误区； 2.提升对分段函数图象及应用的思维方法认知，掌握分类讨论和数形结合思想方法。 【课外作业】 1.设函数f(x)＝若f(a)＝a，则实数a的值为(　 　) A．±1 B．－1 C．－2或－1 D．±1或－2 【解】B 由题意知，f(a)＝a，当a≥0时，有a－1＝a，解得a＝－2，不满足条件，舍去；当a<0时，有＝a，解得a＝1(舍去)或a＝－1.所以实数a的值是－1. 2.设x∈R，则函数y＝2|x－1|－3|x|的值域为______________． 【解】{y|y≤2} 当x≥1时，y＝2(x－1)－3x＝－x－2； 当0≤x<1时，y＝－2(x－1)－3x＝－5x＋2； 当x<0时，y＝－2(x－1)＋3x＝x＋2. 故y＝ 根据函数解析式作出函数图象，由图象可以看出，函数的值域为{y|y≤2}． 3.已知f(x)＝图象关于原点对称，求f(g(－3))值. 【解】－33 因为函数f(x)是奇函数，所以f(－3)＝g(－3)＝－f(3)＝－6，所以f(g(－3))＝f(－6)＝－f(6)＝－33. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$