专题2 第1讲 等差数列（教参）-【高考前沿】2023高考数学第二轮复习·超级考生备战高考（人教版 新教材 新高考）

专题二 数列 第1讲 等差数列 常考考点清单 CHANGKAO KAODIAN QINGDAN 考点一 等差数列及其前n项和 则ak十a1=am十a.特别地，若p十q=2,则ap十ag 1.等差数列相关概念 2am(,p,g∈N*),反之不一定成立. (1)定义：①一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与 (3)若{an}是等差数列，公差为d,则{a2m}也是等差数列， 它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫 公差为2d. 做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 (4)若{an},{bn}是等差数列，则{pan十gbn}(p,q是常数) d表示.②am+1一an=d(同一个常数，n∈N*)或am 仍是等差数列。 an-1=d(同一个常数，n∈N*,n≥2). (5)若{an}是等差数列，公差为d,则a,ak+m,ak+2m,… (2)等差中项：如果a,A,b成等差数列，那么A叫做a与b (k,n∈N)组成公差为md的等差数列， 的等差中项且2A=a十b. 2.与等差数列各项的和有关的性质 (3)通项公式：am=a1+(n-1)d(n∈N*). (1若，是等差数列，则受也是等差数列，其首项与 2.等差数列的前n项和 (1)公式：S。=n(a1十a 2 -na+nn Dd. 2 a,的首项相同，公差是{a公差的号 (2)若Sm,S2m,S3m分别为等差数列{an}的前m项，前2n (2)与函数的关系：s。=号2+(a1-号)m非零数列a 项，前3n项的和，则Sm,S2m一Sm,S3m一S2m成等差 是等差数列的充要条件是其前n项和Sn=f(n)是关于n 数列. 的二次函数或一次函数且不含常数项，即Sn=An2十Bn (3)非零等差数列奇数项和与偶数项和的性质： (A,B是常数). ①若项数为2m,则S一S海=nd,S偶a十 S奇=an (3)最值：若a1>0,d<0,则Sn存在最大值；若a1<0,d> 0,则Sm存在最小值. ②若项数为2n-1,则S偶=(n-1)am,S奇=nan,S奇 考点二 等差数列的性质 S奇=n S偶=an'S假n一T 1.等差数列的常用性质 (4)若两个等差数列{am}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tu, (1)通项公式的推广：an三am十(n-m)d(n,m∈N*). (2)若{an}是等差数列，且k十l=m十n(k,l,m,n∈N*), T2m-1 重要技能拓展 ZHONGYAO JINENG TUOZHAN 考法一 等差数列的判定 续表 判定等差数列的方法： 方法 解读 适合题型 方法 解读 适合题型 an=p1+q(p,q为常数)对任 通项 对于任意自然数n(n≥2)，a 意的正整数n都成立台{an}是 公式法 选择题、 定义法 一aw-1为同一常数台{an}是等 等差数列 解答题 填空题 差数列 中的证 Sn=An+Bn(A,B是常数) 中的判 前n项和 定问题 等差中 2am-1=an十aw-2(n≥3，且n∈ 明问题 对任意的正整数n都成立台 公式法 项法 N)成立台{an}是等差数列 {an}是等差数列 38 数列《专题二 [例1]已知在数列{an}中，a= 4,其前n项的和为Sm, 1 考法二 等差数列前项和的最值问题 求等差数列{am}的前n项和Sn的最值的方法： 且满足am= 2S% 2S-7(n≥2) 当公差d≠0时，将Sn看作关于n的二次 1求证：数列（侵）是等差数列： 二次函数法 函数，运用配方法，借助函数的单调性及 数形结合，使问题得解 (2)求数列{an}的通项公式. [解](1)当n≥2时，Sm-Sm-1= 2S号 2S整理得5。- 求使am≥0（或an≤0）成立的n的最大值 通项公式法 即可得Sm的最大（或最小）值 -Sn=2SnSn-1. 两边同时除以SS-1,得S 1=2 借助当S最大时，有 Sn≥S-1'(n≥2，m Sn-1 lSm≥Sn+1 1 又51am =4,所以 信}是以4为首项，以2为公差的 不等式组法 ∈N*),解此不等式组确定n的范围，进而 确定n的值和对应Sm的值（即S,的最大 等差数列。 值)，类似可求最小值 (2)由(1)可得数列 品}的道项公式为=4十a- [例2]等差数列{am}的前n项和为Sn,已知a1=20,S1o= S15,则Sm最大时，n为何值？ ×2=2n+2,所以Sm= 2(n+1) [解]因为a1=20,S10=S15, 当n≥2时，an=S,-Sm-1= 1 1 -1 2(n十1)2n2n(n+1) 所以10×20+10X94=15×20+15X144. 2 2 当n=1时，a1= 不满足上式 4 所以d=一 3 4n=1, 法-：由a,=20+(a一1（号）=-号+ 所以Qan= 1 得a13