第3章 专题1 第1课时 利用导数证明不等式（Word教参）-2023高考数学一轮复习【优化指导】高中总复习·第1轮（人教A版 新教材 新高考）

专题一　高考中的导数问题 第一课时　利用导数证明不等式 利用导数证明不等式在高考中经常被考查，常与函数的性质、函数的零点与极值、数列等知识相结合，虽然题目难度较大，但是解题方法多种多样，如构造函数法、放缩法等，针对不同的题目，灵活采用不同的解题方法，可以达到事半功倍的效果. 　移项构造函数证明不等式 多维贯通 (2021·全国乙卷)设函数f(x)＝ln(a－x)，已知x＝0是函数y＝xf(x)的极值点. (1)求a； (2)设函数g(x)＝，证明：g(x)<1. 思维 导引 学科素养 本题主要考查逻辑推理、数学抽象等学科素养 思路点拨 (1)先求导，再由x＝0是函数的极值点得ln a＝0，从而求出参数a的值； (2)由(1)得函数的定义域，进而得到xln(1－x)<0，再对g(x)＝<1变形、换元，构造函数研究其单调性即可得证 (1)解：由题意，得y′＝ln(a－x)－(a>x). 因为x＝0是函数y＝xf(x)的极值点， 所以y′|x＝0＝ln a＝0，解得a＝1. (2)证明：由(1)知g(x)＝，x∈(－∞，0)∪(0，1)， 当x∈(0，1)时，xln(1－x)<0； 当x∈(－∞，0)时，xln(1－x)<0. 故要证g(x)<1，即证x＋ln(1－x)>xln(1－x)， 则有－(1－x)＋(1－x)ln(1－x)＋1>0. 令t＝1－x，t∈(0，1)∪(1，＋∞)， 即证tln t－t＋1>0. 设h(t)＝tln t－t＋1，则h′(t)＝ln t. 当t变化时，h′(t)和h(t)的变化情况如表所示. t (0，1) (1，＋∞) h′(t) － ＋ h(t)   所以当t∈(0，1)∪(1，＋∞)时，h(t)>h(1)＝0， 所以不等式成立，即g(x)<1. 方　法　规　律 利用导数证明不等式f(x)＞g(x)的基本方法 (1)若f(x)与g(x)的最值易求出，可直接转化为证明f(x)min＞g(x)max. (2)若f(x)与g(x)的最值不易求出，可构造函数h(x)＝f(x)－g(x).若h′(x)>0，则h(x)在(a，b)上单调递增，同时h(a)>0，则h(x)＝f(x)－g(x)＞0，即f(x)>g(x)；若h′(x)<0，则h(x)在(a，b)上单调递减，同时h(b)>0，则h(x)＝f(x)－g(x)＞0，即f(x)>g(x). 练1　设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R. (1)求f(x)的单调区间与极值； (2)求证：当a>ln 2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1. (1)解：由f(x)＝ex－2x＋2a(x∈R)， 知f′(x)＝ex－2.令f′(x)＝0，得x＝ln 2. 当x<ln 2时，f′(x)<0， 故函数f(x)在(－∞，ln 2)上单调递减； 当x>ln 2时，f′(x)>0， 故函数f(x)在(ln 2，＋∞)上单调递增. 所以f(x)的单调递减区间是(－∞，ln 2)， 单调递增区间是(ln 2，＋∞)， f(x)在x＝ln 2处取得极小值f(ln 2)＝eln 2－2ln 2＋2a＝2－2ln 2＋2a，无极大值. (2)证明：要证当a>ln 2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1， 即证当a>ln 2－1且x>0时，ex－x2＋2ax－1>0. 设g(x)＝ex－x2＋2ax－1(x＞0)， 则g′(x)＝ex－2x＋2a， 由(1)知g′(x)min＝g′(ln 2)＝2－2ln 2＋2a. 又a>ln 2－1，则g′(x)min>0. 于是对∀x＞0，都有g′(x)>0， 所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增. 于是对∀x>0，都有g(x)>g(0)＝0. 即ex－x2＋2ax－1>0， 故当a>ln 2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1. 　分拆函数法证明不等式 讲练融通 已知函数f(x)＝xln x－ax. (1)当a＝－1时，求函数f(x)在(0，＋∞)上的最值； (2)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有ln x＋1>－成立. 思维 导引 学科素养 本题主要考查逻辑推理、数学抽象等学科素养 思路点拨 (1)给出f(x)的解析式，直接求f(x)在(0，＋∞)上的最值即可； (2)证明ln x＋1>－，由于不等式同时含有对数函数和指数函数，想到两侧分别构造函数求解 (1)解：函数f(x)＝xln x－ax的定义域为(0，＋∞). 当a＝－1时，f(x)＝xln x＋x，f′(x)＝ln x＋2， 由f′(x)＝0，得x＝. 当x∈(0，)时，f′(x)＜0； 当x＞时，f′(x)＞0. 所以f(x)在(0，)上单调递减， 在(，＋∞)上单调递增. 因此f(x)在x＝处取得最小值，