第5章 专题2 高考中的三角函数与解三角形问题（Word教参）-2023高考数学一轮复习【优化指导】高中总复习·第1轮（人教B版 新教材 新高考）

专题二　高考中的三角函数与解三角形问题 题型一　三角函数的图像和性质 (2021·山东潍坊二模)在①函数y＝f(x)的图像关于直线x＝对称，②函数y＝f(x)的图像关于点P(，0)对称，③函数y＝f(x)的图像经过点Q(，－1)这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答. 问题：已知函数f(x)＝sin ωxcos φ＋cos ωxsin φ(ω＞0，|φ|＜)最小正周期为π，且，判断函数f(x)在(，)上是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时x的值；若不存在，说明理由. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 解：f(x)＝sin ωxcos φ＋cos ωxsin φ＝sin(ωx＋φ)， 由已知函数f(x)的周期T＝＝π，求得ω＝2， 所以f(x)＝sin(2x＋φ)， 若选①，则有2×＋φ＝kπ＋(k∈Z)， 解得φ＝kπ－(k∈Z)， 又因为|φ|＜，所以k＝0，φ＝－， 所以f(x)＝sin(2x－)， 当x∈(，)时，t＝2x－∈(，)， 所以当t＝，即x＝时，函数f(x)取得最大值，最大值为1. 若选②，则有2×＋φ＝kπ(k∈Z)， 解得φ＝kπ－(k∈Z)， 又因为|φ|＜，所以k＝0，φ＝－， 所以f(x)＝sin(2x－)， 当x∈(，)时，t＝2x－∈(0，)， 所以当t＝，即x＝时，函数f(x)取得最大值，最大值为1. 若选③，则有2×＋φ＝2kπ－(k∈Z)， 解得φ＝2kπ－(k∈Z)， 又因为|φ|＜，所以k＝1，φ＝， 所以f(x)＝sin(2x＋)， 当x∈(，)时，t＝2x＋∈(，)， 显然，函数f(x)在该区间上没有最大值. 方　法　规　律 解决三角函数图像与性质综合问题的思路 (1)先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式. (2)把“ωx＋φ”看作一个整体，借助复合函数的性质求单调性、奇偶性、最值、对称性等问题. 练1　(2021·辽宁丹东二模)设ω>0，函数f(x)＝sin(ωx＋)在上是减函数. (1)求ω； (2)比较f(－6)，f(0)，f(6)的大小. 解：(1)因为ω>0，x∈， 所以ωx＋∈. 由题设可得⊆(k∈Z). 于是 解得24k＋2≤ω≤k＋2且k∈Z. 因为ω>0，所以 可得－＜k≤0且k∈Z， 所以k＝0.于是ω＝2. (2)由(1)可知f(x)＝sin(2x＋)，故f(x)图像关于x＝对称， 所以f(0)＝f(). 又f(x)最小正周期为π，所以f(－6)＝f(2π－6). f(6)＝f(6－2π)＝f(2×－6＋2π)＝f(－6). 因为，2π－6，－6∈， 2π－6＜＜－6，f(x)在上是减函数. 所以f(2π－6)＞f()＞f(－6)， 即f(－6)＞f(0)＞f(6). 题型二　解三角形问题 (2019·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin ＝bsin A. (1)求B； (2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围. 思维 导引 学科素养 本题主要考查数学抽象、逻辑推理、数学运算等学科素养 思路点拨 (1)利用正弦定理将已知等式统一成角的关系，再利用诱导公式、二倍角公式变形化简，解出的正弦值，从而得角B； (2)结合(1)及已知，把三角形的面积表示成关于a的函数，再利用正弦定理将a表示为关于tan C的函数，由锐角三角形及角B的大小，确定角C的范围，进而得解 解：(1)由题设及正弦定理得sin Asin ＝sin Bsin A. 因为sin A≠0，所以sin ＝sin B. 由A＋B＋C＝180°，可得sin ＝cos， 故cos＝2sin cos. 因为cos≠0，所以sin ＝，所以B＝60°. (2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝a. 由正弦定理得a＝＝＝＋. 由于△ABC为锐角三角形，故0°＜A＜90°，0°＜C＜90°. 由(1)知A＋C＝120°，得30°＜C＜90°，所以＜a＜2，从而＜S△ABC＜. 因此，△ABC面积的取值范围是(，). 方　法　规　律 三角形面积公式的应用原则 (1)对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一个角就使用含该角的公式. (2)与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化. 练2　已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，若△ABC同时满足下列四个条件中的三个： ①＝；②cos 2A＋2cos2＝1；③a＝；④b＝2. (1)满足有解三角形的序号组合有哪些？ (2)在(1)所有组合中任选一组，并求对应△ABC的面积(若所选条件出现多种可能，则按计算的第一种可能计分). 解：(1)由①＝得3(a2