专题1 第2讲 三角恒等变换（教参）-【高考前沿】2023高考数学第二轮复习·超级考生备战高考（人教版 新教材 新高考）

三角函数与解三角形《专题一 第2讲三角恒等变换 常X考X考入点入清X单 CHANGKAO KAODIAN QINGDAN 考点 三角函数式的求值和化简 (4)其他常用变形 1.两角和与差的三角函数公式 sin 2a=2sin acos a 2tan a sin'a+cos2a tan2a+1i sin(a+B)=sin acos B+cos asin B;(Sa+8) sin(a-B)=sin acos B-cos asin B;(Sa-8) cos 2a-cos'a-sin'a1-tan"a cos'a+sin'a 1+tana' cos(a+B)=cos acos B-sin asin B;(Ca+8) cos(a-B)=cos acos B++sin asin B;(Ca-g) 1士ma=(如号士as号)）， tan(a十B)= "(工+0） sin a1-cos a tan号-1于oga sin a tan(a1tan atan tan a-tan .(Ta-B) 4.辅助角公式 2.二倍角公式 asin a+beos a=√a2+b2sin(a+o),其中cos9 sin 2a=2sin acos a;(S20) a b sin = √a2+b2 Va2+6 tang= a cos 2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a;(C20) am2a2aa品。Tw 5.角的拆分与组合 (1)用已知角表示未知角 3.公式的变形与应用 例，2a=(a+B)+(a-B),2B=(a+B)-(a-B), (1)两角和与差的正切公式的变形 a=(a+B)-B=(a-B)+B, tan a+tan B=tan(a+B)(1-tan atan B); tan a-tan B=tan(a-B)(1+tan atan B). a=(年+a)--(a-)+5 (2)升幂公式 (2)互余与互补关系 1+c0sa=2cos2号，1-c0sa=2sim2号 例，（开+a)+(F-a)=x,(5+a)+(-a)= (3)降幂公式 (3)非特殊角转化为特殊角 sina1-cos 2a cos"a1 cos 2a 2 2 例，15°=45°-30°，75°=45°+30°. 重要技能拓展 ZHONGYAO JINENG TUOZHAN 考法 三角函数式的化简、求值 (2)给值求值：解题的关键在于“变角”，如a=(a十B)一B, 2a=(a十B)十(a-B)等，把待求三角函数值的角用含已知 1.三角函数式的化简原则 角的式子表示出来，求解时要注意角的范围的讨论. 一看 通过看角之间的差别与联系，可 把角进行合理转化 (3)给值求角：实质上可转化为“给值求值”问题，先求所 角 看 二看 如果函数名称不同，可利用公式 求角的某一三角函数值，再利用该三角函数值结合所求 原则 函数名称 将函数名称进行转化，常见的有 角的范围求得角， “切化弦” [例1](1)(2022·新高考全国卷Ⅱ)若sin(a+B)十 通过看结构特征，找到变形的方 结构特征向，常见的有”遇到分式要通分 三看 cos(a+)=2V2cos(a+平)sinB,则 () “遇到根式要升幂”等 2.三角函数式求值的基本类型及解法 A.tan(a-B)=1 B.tan(a+)=1 (1)给角求值：①化为特殊角的三角函数值： C.tan(a-3)=-1 D.tan(a+B)=-1 ②化为正负相消的项，消去求值； [解析]由题意得sin acos B+sin3cosa+cos acos B ③化分子、分母，使其出现公约数，然后约分求值. sin asin -2 乞(cosa-sina)sinR,整理，得sin acos 第一部分﹐攻克六大堡垒_ -sinβxos a+cos acosβ+sin asinβ=0，即sin(a-β)+[规律总结] cos(α-β)=0，所以tan(a-β)=-1，故选C。（1)公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的 [答案]C符号和函数名的变换，防止出现“张冠李戴”的情况。 （2)(2022·浙江卷)若3sina-sinβ=\sqrt{10}，a+β=て，则（2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角 的范围尽量缩小，避免产生增解． sinα=_____，cos2β= （3)根据条件合理的拆角，如β=(a+β)-a，2a=(a+β)＋ [解析]因为a+β=否，所以β=音一a，所以3sina-（a一β)等． sinβ=3sina-sin(2-a)=3sina-cosa=\sqrt{10sin}(a-[对点训练] φ)=\sqrt{0}，其中sinφ=10^2-csφ=^3-所以a-q=(221·金回乙基)cos^2否-es^2置 晋+2