专题6 第3讲 导数的简单应用（教参）-【高考前沿】2023高考数学第二轮复习·超级考生备战高考（人教版 新教材 老高考）

函数与导数《专题六 第3讲导数的简单应用 三常考X考X点X清X单) CHANGKAO KAODIAN QINGDAN 考点一 导数的概念及运算 考点二 导数与函数的单调性 1.导数的概念及几何意义 设函数f(x)在区间(a,b)内可导，f(x)是f(.x)的导 (1)导数的概念 数，则 一般地，函数y=f(x)在x=xo处的瞬时变化率是limA f(x)>0 f(x)在(a,b)上单调递增 4o4 =-lim+△）-fn）,称为函数y=f(r)在r=0 f(x)<0 f(x)在(a,b)上单调递减 △.x f'(x)=0 f(x)在(a,b)上为常数函数 处的导数.记作f(xo)或y1x=x,即(xo)=limAy= [注意](1)f(x)>0(<0)是f(x)在区间(a,b)上单调 limf(zo+Ar)-f(ro) 递增（减）的充分不必要条件. △x (2)f(x)≥0（≤0）是f(x)在区间(a,b)内单调递增（减） [注意]f(x)与f(x0)的区别与联系：f(x)是一个函 的必要不充分条件。 数，f(x0)是函数f(x)在x0处的函数值（常数），所以 (3)若f'(x)在区间(a,b)的任意子区间内都不恒等于零， [f(xo]'=0. 则f(x)≥0（≤0）是f(x)在区间(a,b)内单调递增（减） (2)导数的几何意义 的充要条件. 函数y=f(x)在x=xo处导数的几何意义，就是曲线y= 考点三 导数与函数的极（最）值 f(x)在点P(xo,yo)处切线的斜率，相应地，切线方程为 1.函数的极值 y-yo=f'(xo)(x-xo). 2.导数的运算 极值 满足条件 (1)基本初等函数的导数公式 函数y=f(x)在点x=a处的函数值 f(a)比它在点x=a附近其他点处的函 原函数 导函数 极小值 数值都小，f(a)=0;在点x=a附近的 f(x)=c(c为常数) f(x)=0 点与极 左侧f'(.x)<0,右侧f(x)>0,就把a f(x)=x(a∈Q且a≠0) f(x)=ax"-I 小值 叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫 f(x)=sin x f'(x)=cos x 做函数y=f(x)的极小值 f(x)=cos x f(x)=-sin x 函数y=f(x)在点x=b处的函数值 f(b)比它在点x=b附近其他点处的函 f(x)=a'(a>0,且a≠1) f'(x)=a'ln a 极大值 数值都大，f(b)=0;在点x=b附近的 f(x)=e' f(x)-e' 点与极 左侧f'(x)>0,右侧f(x)<0,就把b 1 大值 f(.x)=logx(a>0,且|a≠1) f(x)= 叫做函数y=f(.x)的极大值点，f(b)叫 xln a 做函数y=f(x)的极大值 f(x)=In x f(x)= 极值与 极大值与极小值统称为极值，极大值点 极值点 与极小值点统称为极值点 (2)导数的四则运算法则 [f(x)±g(x)]'=f(x)±g'(x); [注意](1)在函数的整个定义域内，函数的极值不一定 [f(x)·g(x)]'=f(x)g(x)+f(x)g'(x): 唯一，在整个定义域内可能有多个极大值和极小值； f()7-P()g(x)-fDg((()). (2)极大值与极小值没有必然关系，极大值可能比极小值 _g(x) [g(x)]2 还小； 191 第一部分·攻克六大堡垒 (3)导数等于零的点不一定是极值点（例如：f(x)=x3, (2)一般地，求函数f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小 f(x)=3.x2,当x=0时，f(0)=0,但x=0不是函数的 值的步骤如下： 极值点)； ①求函数f(x)在区间(a,b)上的极值； (4)对于处处可导的函数，极值点处的导数必为零. 2.函数的最值 ②将函数f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比 (1)一般地，如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一 较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值，函数的 [常用结论]若函数f(x)在开区间(a,b)内只有一个极 最值必在极值点或区间端点处取得， 值点，则相应的极值一定是函数的最值 重要X技能拓人展 ZHONGYAO JINENG TUOZHAN 利用导数的几何意义求曲线的切线方程 得x十a.xo一a=0.因为曲线y=(x十a)er有两条过坐标 考法 及参数的方法 原点的切线，所以关于x0的方程x十a.x0一a=0有两个 1.求曲线的切线方程有两种情况： 不同的根，所以△=a2十4a>0,解得a<一4或a>0,所 (1)求曲线y=f(x)在点P(xo,yo)处的切线方程，即求y 以a的取值范围是(-∞，一4)U(0,十∞). -f(xo)=f(x