专题4 第3讲 圆锥曲线的综合问题（教参）-【高考前沿】2023高考数学第二轮复习·超级考生备战高考（人教版 新教材 老高考）

解析几何《专题四 第3讲 圆锥曲线的综合问题 三重X要X技X能拓展 ZHONGYAO JINENG TUOZHAN 考法一 定值与定点问题 y=kx十n, 1,求解定点问题的基本思路 +2=1,整理得， 由x2 (1)把直线或曲线方程F(x,y,t)=0(t∈R)中的变量x,y (3k2+1).x2+6km.x十3(m2-1)=0.因为直线l与轨迹E 当作常数看待，把原方程整理为关于参数t的方程，即t· 相交于A,B两点， f(x,y)+g(x,y)=0: 所以△=36k2m2-12(3k2+1)(m2-1)=12(3k2-m2+ (2)由于该方程对任意实数t都成立，所以 1)>0. f(x,y)=0, 有gx=0: 设A(x1,y1),B(x2,y2), (3)解该方程组即可得出直线或曲线所过的定点. 则x1十x2= 3k2+71x2=3(m2-1) 6km 32+1 2.解决定值问题的基本思路 所以y1十y2=k(.x1十x2)十2m= 2m (1)求代数式为定值：以题设条件，得出与代数式有关的 3k2+1 等式，化简即可得出定值： 设AB的中点为Q,则Q的坐标为（一》 (2)求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式 因为四边形OAPB为平行四边形， 得出距离的表达式，再利用题设条件化简、变形求得； 6km (3)求某线段长度为定值：利用两点间的距离公式求得线 所以0P=2OQ=（ 1）小 段长度的表达式，再依据条件对表达式进行化简、变形即 6km 2m 可求得. 所以点P的坐标为（ 3k2+1'3k2+1 3.求解定点、定值问题常见的两种方法 6kn1 (1)从特殊入手，求出定值或定点，再证明这个值或点的 又因为点P在椭圆上，所以 (-3+1) (2m 3k2+1 =1. 3 坐标与变量无关； (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从 整理得，4m2=3k2+1. 而得到定值或定点. 又因为|AB|=V1十k2|x1-x2|=√1+k [例1](1)已知圆C:(x+√2)2+y2=12,动圆M过点D .233k2-m2+1 3k2+1 (√2,0)且与圆C相切. ①求动圆圆心M的轨迹E的方程； 原点O到直线AB的距离为d=m √1+k2 ②假设直线l与轨迹E相交于A,B两点，且在轨迹E上 所以平行四边形OAPB的面积S=2S△AOB=|AB|·d 存在一点P,使四边形OAPB为平行四边形，试问平行四 边形OAPB的面积是否为定值？若是，求出此定值；若不 =2mV3k2-m2+1_ 3k2+1 2 是，请说明理由. [解]①因为CD|=2√2<2V3,所以点D在圆C内.又 综上可知，平行回边形OAPB的面根为定值是 因为圆M过点D且与圆C相切，所以MC引=2√3一 (2)(2022·全国乞卷)已知椭圆E的中心为坐标原点，对 IMD,所以|MC+|MD|=2√3>|CD.即点M的轨迹 称轴为x轴心轴，且过A(0,一2)，B(号，-1)两点。 是以C,D为焦点的椭圆.则2a=23,即a=V3.又2c= (1)求E的方程： 2√2，即c=√2.所以b=1.故动圆圆心M的轨迹E的方 (2)设过点P(1,-2)的直线交E于M,N两点，过M且 程为写十y2=1. 平行于x轴的直线与线段AB交于点T,点H满足MT TH.证明：直线HN过定点. ②当直线AB的斜率不存在时，可得直线AB的方程为 [解](1)椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y 工=±号北时-所以回边形OAPB的面叔S 轴，且过A(0,-2), 多.当直线AB的针率存在时，设直线AB的方程为y 可设椭圆E的方程为？+y a24=1， kx十m, 又横周E建（受-小心品+}1，得a2=3 133 第一部分·攻克六大堡垒 E的方为写+ -=1. y1-y2 y1-y2 即y= 3y1+6-x1-x2 x+2-31+6-1一x2 ·x2. (2)证明：当直线MN的斜率不存在时，lMN:x=1, 0,得y=y2 (y1-y2)x2 令x= x=1 3y1+6-x1-x2 因2…得y=3y士2② =1 一(x1y2+x2y1)+3y1y2+6y2 4 -(x1十x2)+6+3y1 -(x1y2+x2y1)十3y1y2十6y2 结合题意可知M(1, ,N(1,2), 22 3 -(x1+x2)+6+3(y1+y2)-3y2 :y1y2=(k.x1十m)(k.x2十n)=k2x1x2十mk(x1+2）十 一过M且平行于x轴的直线的方程为y=-2区 m2--12k2+4m2 3k2+4 号知店T的橙坐标∈[0，号]直线AB的方程为y y1+y2=(k.x1+m)+(kx2+m)=k(x1+x2)+2m （-2）=-1（-2×(x-0),即y=号x-2. 2 8m