专题4 第2讲 圆锥曲线的方程与性质（教参）-【高考前沿】2023高考数学第二轮复习·超级考生备战高考（人教版 新教材 老高考）

解析几何《专题四 第2讲 圆锥曲线的方程与性质 三常X考X考X点X清X单 CHANGKAO KAODIAN QINGDAN 考点一 圆锥曲线的定义及标准方程 考点二 圆锥曲线的几何性质 一、椭圆的定义及标准方程 一、椭圆的几何性质 1.定义：把平面内与两定点F1,F2的距离之和等于常数（大 1.椭圆的几何性质 于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆. 焦点在x轴上 焦点在y轴上 2.标准方程 货点在x轴上后+芳-1a>60: 标准 2 =1(a>b> y2x2 a2+6=1(a>b 焦点在y销上导+荐1o>6>0 方程 0) >0) 3.焦点三角形 (1)P是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点，F1,F2为 A2 椭圆的两焦点，则S△件，R=61an号，其中0为 ∠FPF2.△PF1F2的周长为2(a十c). 图形 A 、F,0 小，t B 0 B2石 (2)过焦点F1的弦AB与椭圆另一个焦点F2构成的 △ABF2的周长为4a. 二、双曲线的定义及标准方程 1.定义：把平面内与两个定点F,F2的距离之差的绝对值 等于常数2a(0<2a<|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线. 焦点 F(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2 2.标准方程 坐标 (0,c) x2 y2 焦点在x轴上：京一 =1(a>0,b>0): 对称 关于x轴、y轴对称，关于原点对称 他点在y箱上芳茶-1a>06公0， 性 A1(-a,0),A2(a, A1(0,-a),A2 3.焦点三角形问题 顶点 0),B1(0,-b),B2 (0,a),B1(-b, (1)P为双曲线上的点，F1,F2为双曲线的两个焦点，且 坐标 (0,b) 0),B,(b,0) ∠BPF=0,则SAF PE,= 0=clypl. tan 2 范围 |x≤a,ly≤b |x|≤b,|y|≤a (2)过焦点F1的直线与双曲线的一支交于A、B两点，则 长轴、 A、B与另一个焦点F2构成的△ABF2的周长为4a十 长轴A1A2长为2a,短轴B1B2长为2b 短轴 2AB1. (3)若P是双曲线右支上一点，F1、F2分别为双曲线的 离心 左、右焦点，则1PF,l三a十PE一a 率 椭圆的焦距与长轴长的比e=S a 4)P是双曲线名发1(a>0,b>0)右支上不同于实 2.常用结论 (1)设P,A,B是中心在原点，焦点在x轴上的椭圆上不 轴端点的任意一点，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，I 同的三点，其中A,B两点关于原点对称，且直线PA、PB 为△PFF2内切圆的圆心，则圆心I的横坐标恒为定 值a. 的斜率都存在，则kB=一 a2. 三、抛物线的定义及标准方程 (2)P是椭圆上一点，F为椭圆的焦点，则PF∈[a4 1.定义：把平面内与一个定点F和一条定直线(F￠)的距 十c],即椭圆上的点到焦点距离的最大值为a十c,最小值 离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦 为a一c 点，定直线1叫做抛物线的准线. 2.标准方程：焦点在x轴上：y2=士2px(p0);焦点在y轴 (③)椭圆的通径（过焦点且垂直于长箱的弦）长为公，通 上：x2=士2y(p>0). 径是最短的焦点弦. 117 第一部分·攻克六大堡垒 二、双曲线的几何性质 续表 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准 y'=2px y=-2px x'=2py x=-2py 2 方程 (p>0) (p>0) (p>0) (p>0) 标准方程 =1 a 1 焦半 (a>0,b>0) (a>0,b>0) 径长 +号 + 一+是 y 焦点 x0十x (x+ yo+yI (y0十y1) A 弦长 十p x1)+p 十p +p 图形 B B2 其中P(xo,yo),Q(x1,y1)是抛物线上两动点，且PQ过焦 点F,线段PF称为抛物线的焦半径，线段PQ称为抛物线 F 的焦点弦。 考点三 直线与圆锥曲线 范围 lxl≥a yl≥a 一、直线与椭圆的位置关系 F1(0,-c)、F2 焦点 F1(-c,0)、F2(c,0) 1.位置关系的判断 (0,c) 如电圆方整号+ =1(a>b>0)与直线方程y=k.x十 A(0, -a)、A2 顶点 A(-a,0)、A2(a,0) m(k≠0)联立，消去y,整理成Ax2+B.x十C=0的形式 (0,a) (这里的系数A一定不为零)，则： 对称性 关于x轴、y轴对称，关于原点对称 位置关系 图形 判断方法 公共点个数 实、虚 轴长 实轴长为2a,虚轴长为2b 相交 △>0 2 离心率 双曲线的焦距与实轴长的比e= a 相切 4=0 渐近 y=±bx 线方程 y=士a 相离 △<0 0 三、抛物线的几何性质 标准 y'=2px 3y2 =-2px x'=2py x2=-2py 2.椭圆的弦长 方程 (p>0) (D>