专题3 第3讲 直线、平面垂直的判定与性质（教参）-【高考前沿】2023高考数学第二轮复习·超级考生备战高考（人教版 新教材 老高考）

立体几何《专题三 解：(1)由题图1可知，AB⊥AE,CD⊥DF,则题图2中， (1)求证：BM∥平面ADEF; AB⊥PA,CD⊥PD,又AB∥DC,所以AB⊥PD, (2)求三棱锥MBDE的体积. 因为PA∩PD=P,所以AB⊥平面PAD, 解析：(1)证明：取ED的中，点N,连接MN,AN. 而ABC平面ABCD,所以平面PAD⊥平面ABCD,又 因为点M是EC中点. △PAD是边长为2的正三角形， 所以MN∥DC,MN= 则P到AD的距离√3即为四棱锥P-ABCD的高， 2DC.而AB∥DC,AB=2DC 所以VrAn=子×2×2XV月-4g 所以MN∥BA,MN=BA. 3 所以四边形ABMN是平行四边形.所以BM∥AN (2)平面PAB和平面PCD的交线l∥平面ABCD. 而BME平面ADEF,ANC平面ADEF, 理由如下： 所以BM∥平面ADEF. 因为AB∥CD,AB￠平面PCD,CDC平面PCD, 所以AB∥平面PCD,又ABC平面PAB,平面PAB∩平 面PCD=l,所以AB∥l, 而ABC平面ABCD,l庄平面ABCD, 所以l∥平面ABCD. 9.正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，AD⊥ CD,AB∥CD,AB=AD=2,CD=4,点M是EC中点. B (2)因为M为EC的中点，所以S△DEM= 2 SACDE-2. 1 因为AD⊥CD,AD⊥DE,且DE与CD相交于点D, 所以AD⊥平面CDE.因为AB∥CD,所以三棱锥B D DME的高=AD=2, 所以VM-BDE=VB-DEM= 3 E·AD=手 1 第3讲 直线、平面垂直的判定与性质 常考X考入点X清X单 CHANGKAO KAODIAN QINGDAN 考点一 直线与平面垂直的判定和性质 2.直线与平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的 1.线面垂直的判定和性质 角，叫做这条直线和这个平面所成的角. (1)线面垂直的判定 (2)直线1与平面a所成角0的取值范围 b 直线l和平面a 图形 lCa或l∥a l⊥a l和a斜交 的位置关系 0的取值范围 0=0° 0=90° 0°<0<90° l⊥a,l⊥b,a∩b=O, 条件 a∥b,a⊥a (3)最小角定理：平面的斜线和它在平面内的射影所成的角 aCa:bCa 是这条斜线和这个平面内任一条直线所成角中最小的角. 结论 l⊥a b⊥a 三余弦公式：cos0=cos01·cos02(如图所示，其中01是 (2)线面垂直的性质 斜线OA与平面a所成的角，02是斜线OA的射影AB与 平面内的直线AC的夹角，0是斜线OA与平面内的直线 AC的夹角). 图形 条件 a⊥a,bCa a⊥&，b⊥a 结论 a⊥b a∥b /a 83 第一部分·攻克六大堡垒 考点二 平面与平面垂直的判定和性质 (2)面面垂直的性质 1.二面角 (1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫 图形 做二面角. (2)二面角的平面角 在二面角的棱上任取一点，以此点为垂足，在两个半平面 a⊥3，a∩3=a, a∩B=l,a⊥Y, 内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所组成的角 条件 lC3,l⊥a B⊥Y 叫做二面角的平面角.记此角为0，当0=90°时，二面角叫 做直二面角. 结论 l⊥a l⊥Y (3)二面角的取值范围：[0，π]. 2.面面垂直的判定和性质 [知识拓展] (1)面面垂直的判定 1,三垂线定理及其逆定理 (1)三垂线定理：在平面内的一条直线，如果与这个平面 4 的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也与这条 图形 /0 斜线垂直. (2)三垂线定理的逆定理：如果平面内一条直线与该平面 a∩3=l,OACa, 的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平 面内的射影. 条件 OBC3,OA⊥I, lCB,I⊥a 2.垂直问题的转化方向图 OB⊥I,且∠AOB=90 直线与 判定直线与 判定平面与 结论 a⊥3 a⊥3 直线垂直 平面垂直性质平面垂直 重X 要技能扬展 ZHONGYAO JINENG TUOZHAN 考法 判断或证明直线与平面垂直的方法 [解析]如图，连接BD交AC 于O,连接OE,OF.设AB=ED 1.利用线面垂直的判定定理：l⊥a,l⊥b,a∩b=O,aCa,bC =2FB=2,则AB=BC=CD= →l⊥a(主要方法)： AD=2,FB=1.因为ED⊥平面 2.利用平行线垂直平面的传递性：a∥b,a⊥a→b⊥&； ABCD,FB∥ED,所以FB⊥平 3.利用面面垂直的性质定理：a⊥B,a∩B=l,aCa,a⊥l今a⊥ 面ABCD,所以V1=VEACD= (主要方法)： 4.利用面面平行的性质：a∥3，a⊥B→a⊥a; ED=号X号ADX 1