专题2 第2讲 等比数列（教参）-【高考前沿】2023高考数学第二轮复习·超级考生备战高考（人教版 新教材 老高考）

第一部分·攻克六大堡垒 14.已知数列{am}满足a1=6,an-1am一6an-1十9=0，n∈ 解：(1)设{an}的公差为d.由Sg=一a5得a1十4d=0.由 N*且n≥2. a3=4得a1十2d=4.于是a1=8, 1求证：数列。为等差数列： d=-2.因此{an}的通项公式为an=10-2n. (2)由Sg=-a5得a1=一4d, (2)求数列{an}的通项公式： a=(n-5)d.S=n(n9)d 2 an (3)设6，=n十1，求数列{6，}的前n项和T… 由a1>0知d<0,故Sm≥am等价于n2-11n十10≤0，解 解：(1)证明：当n≥2时，an-1am-6am-1十9=0→am= 得1≤n≤10. 1 an-1 1 所以n的取值范围是{n1≤n≤10，n∈N}. am-3am-1-3-3am-1-9an-1-3 16.记Sm是公差不为0的等差数列{am}的前n项和，已知 am-1-3 1 a3=S5,a2a4=S4. 3(a-1-3)3· (1)求数列{am}的通项公式am; a日数列1 又1 {。一是以号为首项，3为公 (2)求使Su>am成立的n的最小值， 解：(1)由等差数列的性质可得：S5=5a3,则a3=5a3,所 差的等差数列 以a3=0, 设等差数列的公差为d,从而有：a2a4=(a3一d)(a3十d) a,=3(n+1) =-d2, S4=a1+a2+a3+a4=(a3-2d)+(a3-d)+a3+(a3+ (8a,wD-3(日） 3 d)=-2d, 从而一d2=一2d,由于公差不为零， T,=M+加+…+b=3[(1-)+(号-专)+ 故d=2,数列的通项公式为an=a3十(n-3)d=21-6. (2)由数列的通项公式可得：a1=2-6=一4，则Sm=n× (信-)++（日）]-1-）0 3n （-4）+n(,D×2=n2-5n, 2 15.记Sm为等差数列{an}的前n项和，已知Sg=-一a5. 则不等式Sm>a即n2-51>2n-6,整理可得：(n-1) (1)若a3=4,求{an}的通项公式. (n-6)>0,解得：n<1或n>6, (2)若a1>0,求使得Sm≥an的n的取值范围. 又n为正整数，故n的最小值为7. 第2讲 等比数列 常 (考考点X清X单 CHANGKAO KAODIAN QINGDAN 考点一 等比数列及其前n项和 考点二 等比数列的性质 1.等比数列的相关概念 1.等比数列的单调性 (1)定义：①一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与 设等比数列{an}的首项为a1,公比为q. 它的前一项的比都等于同一常数，那么这个数列就叫做 (1)当q>1,a1>0或0<q<1,a1<0时，数列{an}为递增 等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字 数列； 母q(q≠0)表示. (2)当q>1,a1<0或0<q<1,a1>0时，数列{am}为递减 ②an=q(n≥2，n∈N*.g≠0). 数列； an-1 (3)当q=1时，数列{an}是常数列： (2)通项公式：an=a1g1(n∈N“,a1,q≠0).推广：an= (4)当q<0时，数列{an}是摆动数列. amg"-m(n,n∈N*,m≠n). 2.等比数列的运算性质 (3)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b (1)若{an}是等比数列，且m十n=p十q,则awn=ag 成等比数列，那么称G为a与b的等比中项，即G= 其中m,n,p,q∈N*.特别地，若2m=p十q,则ag=am. 土√ab(a,b同号). 反之，不一定成立 2.等比数列的前n项和公式：当g二1时，S,=a1:当9≠1 (2)若{an}是等比数列，公比为q,则ak,ak+m,a+2m,… 时，5，-a10-g2-a1-ga (k,m∈N*)是等比数列，公比为qm. 1-q1-q (3)若数列{am},{b}是两个项数相同的等比数列，则数列 44 数列《专题二 (入≠0，n∈N*)是等 2)若a·a2··an=Tn,则Tn,元，Tg ,…成等比 比数列. 数列. 3.等比数列的前n项和的性质 (3)若数列{am}的项数为2n,S偶与S奇分别为偶数项与 (1)当q≠-1（或q=一1且k为奇数）时，Sk,S2一Sk,S3k 一S2,…是等比数列. 奇效项的和则-若项数为2十1.时5。- [注意]当q=一1且k为偶数时，S,S2k-Sk,S3 [注意]在运用等比数列及前n项和的性质时，要注意 S2k…不是等比数列. 字母间的上标、下标的对应关系 重要技能X拓X展 ZHONGYAO JINENG TUOZHAN 考法 等比数列的判定与证明 (2)因为a1=1,4an+1=3an-n十4，所以a2= 13 2a3= 8 等比