专题1 第4讲 解三角形（教参）-【高考前沿】2023高考数学第二轮复习·超级考生备战高考（人教版 新教材 老高考）

第一部分·攻克六大堡垒 解：1)函数f()=Asin(ax+）满足的条件为①③. (2)因为fx)+1=0,所以sin(2x+晋)=-， 理由如下：由题意可知条件①②相互矛盾， 所以2红+骨-吾+2x∈7)或2z十吾=-要+ 6 6 故⑧为函数f(x)=Asin(ax+否)满足的条件之一. 2kπ(k∈Z), 由③可知，函数f(x)的最小正周期T=π，所以ω=2，故 所以x=一 +km∈Z或x=-受+xk∈)， ②不合题意， 所以函数f()=Asin(oz+石)满足的条件为①③。 又x[-,所以x的取值为-吾，要-受，受 所以方程f(x)十1=0在区间[一π，π]上所有解的和 由①可知A=2,所以f(x)=2sin(2x+若）月 第4讲 解三角形 常 考 (考入点X清 单 CHANGKAO KAODIAN QINGDAN 考点一 正弦定理和余弦定理 ②当A为钝角或直角时，如图，此时只有一个解. 1.正弦定理 （①内容：AB=后C=2RR为△ABC外接圆 半径). (2)变形形式 注：当a≤b时无解. Da=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C; 2.三角形中常用的结论 ②snA=录sinB-0nc-录 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,常见的结 论有： 3ab c=sin A:sin B:sin C; (1)A+B+C=π： a+b+c ④gnAf5nB+-sin Csin A=2R. (2)在△ABC中，大角对大边，大边对大角，如：a>b台A Besin Asin B: 2.余弦定理 (3)在斜△ABC中，tanA十tanB+tanC=tan Atan B· (1)内容：a2=b2+c2-2 bccos A;b2=c2+a2-2 cacos B; tan C; c2=a2+62-2abcos C. (4)有关三角形内角的常用三角恒等式：sin(A十B)三 (2)变形形式 sin C;cos(A+B)=-cos C;tan(A+B)=-tan C(A+B cos A 2+c2-a2 2bc ；cosB=2+a2-b2 2ca COsC= ≠）mA生-s号oms4B-s如号 2 a2+b2-c2 (5)三角形中的射影定理：a=beos C十ccos B,b=acos C 2ab +ccos A,c=acos B+bcos A. 考点二 解三角形及其应用 (6)sin15-5,2,cos15°=5+2，an15=2-5. 4 4 1.已知两边及一边对角解三角形，如在△ABC中，已知a,b 3.三角形的面积公式 和A. 设△ABC的三边为a,b,c所对的三个内角分别为A,B, (1)若利用余弦定理求边长，实质是解一元二次方程，解 C,其面积为S,△ABC的外接圆半径为R,内切圆半径 出后可根据已知条件对方程的根进行取舍. 为r (2)用正弦定理解三角形时，会出现如下情形： ①当A为锐角时，如图，解的个数分别为一解，两解， (1)S=2ah(h为BC边上的高)： 一解. (2)absin Csin BesinA (3)S=2R2sin Asin BsinC; (4)S-abc 4R (5)S=Vp(力-a)(p-b)(p-c)(力=2(a+b十c)）: 注：当a<bsin A时无解. (6)S= 2r(a+b+c). 26 二角函数与解三角形《专题一 重要技X能X拓X展， ZHONGYAO JINENG TUOZHAN 考法一 利用正、余弦定理解三角形 (2)(2021·新高考全国卷I)记△ABC是内角A,B,C的 1.已知两角A,B与一边0，由A+B十C=x及A品B 对边分别为a,b,c.已知b2=ac,点D在边AC上，BDsin ∠ABC=asin C. =sinC求出角C、b、c = 2.已知两边b、c及其夹角A,由a2=b2+c2-2bc·cosA先 求出a,再由正弦定理求出角B、C 3.已知三边a、b、c,由余弦定理可求出角A、B、C. 4已知两边06及其中一边：的对角A,由品有品B可 求出另一边b的对角B,由C=π一(A十B)可求出C,再由 ①证明：BD=b: 品人C可求出，面通过B求B时，可能 ②若AD=2DC,求cos∠ABC. [解]①证明：由BDsin∠ABC=asin C及正弦定理， 有一解、两解或无解. 得BD=c-g-名-h [例1](1)(2022·全国乙卷)记△ABC的内角A,B,C的 ②法一：由cos∠BDA十cos∠BDC=0及余弦定理，得 对边分别为a,b,c,已知sin Csint(A-B)=sin Bsin(C A). +(号)-2+（台）- 12 一十 -=0. ①若A=2B,求C; ②证明：2a2=b2+c2. 26号0 [解]①由A=2B,A+B+C=