专题1 第2讲 三角恒等变换（教参）-【高考前沿】2023高考数学第二轮复习·超级考生备战高考（人教版 新教材 老高考）

三角函数与解三角形《专题一 第2讲三角恒等变换 常X考X考X点清X单 CHANGKAO KAODIAN QINGDAN 考点 三角函数式的求值和化简 (4)其他常用变形 sin 2a-2sin acos a 2tan a 1.两角和与差的三角函数公式 sin'a+cos2a tan2a+1 sin(a+B)=sin acos B+cos asin B;(Sa+8) sin(a-B)=sin acos B-cos asin B(S。-g） cos 2a-cos a-sin'a1-tan'a cos'a+sin'a 1+tana cos(a+B)=cos acos B-sin asin B;(Ca+3) cos(a-B)=cos acos B++sin asin B;(Ca-g) 1士ma=(如号士as号)）， tan(a十B)= "(T+o） & sin a1-cos a tan 2-1+cos a sin a tan(a1tan atan tan a-tan (T。-g) 4.辅助角公式 2.二倍角公式 asin a+beos a=√a2+bsin(a+p),其中cos9 sin 2a=2sin acos a;(S2) a 6 b cos 2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a;(C20) √a2+b sin p=- 2+62 tan g=a tam2a2aa品。Tw 5.角的拆分与组合 (1)用已知角表示未知角 3.公式的变形与应用 例，2a=(a+B)+(a-B),2B=(a+B)-(a-B), (1)两角和与差的正切公式的变形 a=(a+B)-B=(a-B)+B, tan a+tan B=tan(a+B)(1-tan atan B); tan a-tan B=tan(a-B)(1+tan atan B). a=(年+a)--(。-)+5 (2)升幂公式 (2)互余与互补关系 1+c0sa=2cos2号，1-c0sa=2sim2号 例，（开+a)+(3r-a)=x,(5+a)+(-a)=5 (3)降幂公式 (3)非特殊角转化为特殊角 sina1-cos 2a cos"a1 cos 2a 2 2 例，15°=45°-30°，75°=45°+30. 重X要X技人能拓展 ZHONGYAO JINENG TUOZHAN 考法 三角函数式的化简、求值 (2)给值求值：解题的关键在于“变角”，如a=(a十B)一B, 2a=(a十B)十(a-B)等，把待求三角函数值的角用含已知 1.三角函数式的化简原则 角的式子表示出来，求解时要注意角的范围的讨论. 一看 通过看角之间的差别与联系，可 角 把角进行合理转化 (3)给值求角：实质上可转化为“给值求值”问题，先求所 求角的某一三角函数值，再利用该三角函数值结合所求 一看原则 一看 如果函数名称不同，可利円公式 函数名称 将函数名称进行转化，常见的有 角的范围求得角， “切化弦” [例1](1)(2022·新高考全国卷Ⅱ)若sin(a+B)+ 三看 通过肴看结构特征，我到变形的方 结构特征 向，常见的有“遇到分式要通分” “遇到根式要升幂”等 cos(a+B)=2V2cos(a+平)sinB,则 () 2.三角函数式求值的基本类型及解法 A.tan(a-B)=1 B.tan(a+)=1 (1)给角求值：①化为特殊角的三角函数值： C.tan(a-3)=-1 D.tan(a+B)=-1 ②化为正负相消的项，消去求值： [解析]由题意得sin acos B+sin Bcos a+cos acos B ③化分子、分母，使其出现公约数，然后约分求值. sin asin,g=22×号(cos。一sna)sinB,整理，得sin acos月 第一部分·攻克六大堡垒 -sin Bcos a+cos acos B+sin asin B=0,p sin(a-B)+ [规律总结] cos(a-B)=0,所以tan(a-B)=一1，故选C. (1)公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的 [答案]C 符号和函数名的变换，防止出现“张冠李戴”的情况 (2)(202·浙江卷)若3sina-sin9=V1而a+月=受，则 (2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角 的范围尽量缩小，避免产生增解. sin a= ,cos 28= (3)根据条件合理的拆角，如B=(a十3)一a,2a=(a+B)十 [解析] 因为a十B=受，所以月=受-a,所以3sina (a-B)等. sin月-3sina-sin(5-a）=3sina-cosa=V10sin(a [对点训练] g=0,其中sng=8osg=30,所以。9 1)(2021·全国之卷)c0s多-cos2 12 10 1 吾+2kx