第04课 向量法求距离-2022-2023学年高二数学课后培优分级练（苏教版2019选择性必修第二册）

第04课 向量法求距离 一、核心体系 二、必备知识 知识点一：点到直线的距离 已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点.设，则向量在直线上的投影向量，在中，由勾股定理得： 知识点二：点到平面的距离 如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度. 三、高频考点+重点题型 考点一：求点到直线的距离 例1-1．已知空间直角坐标系中的点，，，则点Р到直线AB的距离为（    ） A． B． C． D． 例1-2．如图，ABCD－EFGH是棱长为4的正方体，若P在正方体内部且满足P（3，1，2），则P到AB的距离为（    ） A． B． C． D． 例1-3．如图，已知正三棱柱的所有棱长均为1，则线段上的动点P到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 例1-4．在直四棱柱中，底面为正方形，．点在侧面内，若平面，则点到的距离的最小值为________． 训练题组 1．已知空间三点，，，则到直线的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 2．（2022·全国·高二课时练习）在平行四边形中，，，，，且平面ABCD，求点P到直线BC的距离． 3．如图，已知长方体的体积为4，点A到平面的距离为． (1)求的面积； (2)若，动点E在线段上移动，求面积的取值范围． 拓4．如图，平行六面体中，底面是菱形，且. (1)求与所成角的余弦值； (2)若空间有一点P满足：，求点P到直线的距离. 考点二：求点到平面的距离 例2-1．空间直角坐标系中，四面体的各顶点，，，，则点B到平面的距离是_______________. 例2-2．已知平面的一个法向量为，点是平面上的一点，则点到平面的距离为___________. 例2-3．如图，四棱锥的底面ABCD是边长为2的正方形，，且，为的中点，则点到平面的距离为___________. 训练题组 1．已知向量为平面的法向量，点在内，则点到平面的距离为________________ 2．如图，已知圆锥的顶点为，点是圆上一点，，点是劣弧上的一点，平面平面，且. (1)证明：. (2)求点到平面的距离. 3．四棱锥P-ABCD中，，，则这个四棱锥的高h 为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知正方体的棱长为1，点M，N是线段上的两个三等分点，动点G在内，且的面积为，则G点的轨迹长度为___________. 5．在四棱锥中，，，，则这个四棱锥的高等于___________. 考点三、其他距离 例3-1．如图，在长方体中，，，､､分别是､､的中点，则直线到平面的距离为___________. 例3-2．两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A（2，1，1），且两平面的一个法向量 （﹣1，0，1），则两平面间的距离是　　． 训练题组 1.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2,E,F,G,H分别是棱AB,AD,B1C1,D1C1的中点,则平面EFD1B1和平面GHDB的距离是________. 2.如图所示，平面α⊥平面β，AD⊥AC，BC⊥AC，AD＝3，BC＝8．AC＝5． （1）AD⊥α成立吗？（2）求BD的长度． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04课 向量法求距离 一、核心体系 二、必备知识 知识点一：点到直线的距离 已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点.设，则向量在直线上的投影向量，在中，由勾股定理得： 知识点二：点到平面的距离 如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度. 三、高频考点+重点题型 考点一：求点到直线的距离 例1-1．已知空间直角坐标系中的点，，，则点Р到直线AB的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由向量在向量上的投影及勾股定理即可求. 【详解】，，， ，，， 在上的投影为， 则点到直线的距离为. 故选：D． 例1-2．如图，ABCD－EFGH是棱长为4的正方体，若P在正方体内部且满足P（3，1，2），则P到AB的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以A为坐标原点，AB，AD，AE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，由点到直线的向量公式代入即可得出答案. 【详解】如图，以A为坐标原点，AB，AD，AE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则，，，， ，， 在上的投影向量的长度为， ，， 所以点P到AB的距离． 故选：C. 例1-3．如图，已知正三棱柱的所有棱长均为1，则线段上的动点P到直线的距离的最小值为（