专题31 圆锥的计算篇-备战2023年中考数学必考考点总结+题型专训（全国通用）

专题31 圆锥的计算 考点一：弧长的计算 知识回顾 1. 圆的周长计算公式： 2. 弧长计算公式： （弧长为，圆心角度数为，圆的半径为） 微专题 1．（2022•丹东）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，OC，若AB＝6，∠A＝30°，则的长为（　　） A．6π B．2π C．π D．π 【分析】先根据圆周角定理求出∠BOC＝2∠A＝60°，求出半径OB，再根据弧长公式求出答案即可． 【解答】解：∵直径AB＝6， ∴半径OB＝3， ∵圆周角∠A＝30°， ∴圆心角∠BOC＝2∠A＝60°， ∴的长是＝π， 故选：D． 2．（2022•广西）如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，∠BAC＝α，将△ABC绕点A逆时针旋转2α，得到△AB′C′，连接B′C并延长交AB于点D，当B′D⊥AB时，的长是（　　） A．π B．π C．π D．π 【分析】证明α＝30°，根据已知可算出AD的长度，根据弧长公式即可得出答案． 【解答】解：∵CA＝CB，CD⊥AB， ∴AD＝DB＝AB′． ∴∠AB′D＝30°， ∴α＝30°， ∵AC＝4， ∴AD＝AC•cos30°＝4×＝2， ∴， ∴的长度l＝＝π． 故选：B． 3．（2022•河北）某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，PA，PB分别与所在圆相切于点A，B．若该圆半径是9cm，∠P＝40°，则的长是（　　） A．11πcm B．π cm C．7πcm D．π cm 【分析】根据题意，先找到圆心O，然后根据PA，PB分别与所在圆相切于点A，B．∠P＝40°可以得到∠AOB的度数，然后即可得到优弧AMB对应的圆心角，再根据弧长公式计算即可． 【解答】解：OA⊥PA，OB⊥PB，OA，OB交于点O，如图， ∴∠OAP＝∠OBP＝90°， ∵∠P＝40°， ∴∠AOB＝140°， ∴优弧AMB对应的圆心角为360°﹣140°＝220°， ∴优弧AMB的长是：＝11π（cm）， 故选：A． 4．（2022•湖北）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，以点C为圆心，CA的长为半径画弧，交AB于点D，则的长为（　　） A．π B．π C．π D．2π 【分析】连接CD，根据∠ACB＝90°，∠B＝30°可以得到∠A的度数，再根据AC＝CD以及∠A的度数即可得到∠ACD的度数，最后根据弧长公式求解即可． 【解答】解：连接CD，如图所示： ∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝8， ∴∠A＝90°﹣30°＝60°，AC＝＝4， 由题意得：AC＝CD， ∴△ACD为等边三角形， ∴∠ACD＝60°， ∴的长为：， 故选：B． 5．（2022•甘肃）如图，一条公路（公路的宽度忽略不计）的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，半径OA＝90m，圆心角∠AOB＝80°，则这段弯路（）的长度为（　　） A．20πm B．30πm C．40πm D．50πm 【分析】根据题目中的数据和弧长公式，可以计算出这段弯路（）的长度． 【解答】解：∵半径OA＝90m，圆心角∠AOB＝80°， ∴这段弯路（）的长度为：＝40π（m）， 故选：C． 6．（2022•丽水）某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图．已知矩形的宽为2m，高为2m，则改建后门洞的圆弧长是（　　） A．m B．m C．m D．（+2）m 【分析】先作出合适的辅助线，然后根据题意和图形，可以求得优弧所对的圆心角的度数和所在圆的半径，然后根据弧长公式计算即可． 【解答】解：连接AC，BD，AC和BD相交于点O，则O为圆心，如图所示， 由题意可得，CD＝2m，AD＝2m，∠ADC＝90°， ∴tan∠DCA＝＝＝，AC＝＝4（m）， ∴∠ACD＝60°，OA＝OC＝2m， ∴∠ACB＝30°， ∴∠AOB＝60°， ∴优弧ADCB所对的圆心角为300°， ∴改建后门洞的圆弧长是：＝（m）， 故选：C． 7．（2022•枣庄）在活动课上，“雄鹰组”用含30°角的直角三角尺设计风车．如图，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，将直角三角尺绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，使点C′落在AB边上，以此方法做下去……则B点通过一次旋转至B′所经过的路径长为 　 　．（结果保留π） 【分析】由含30度直角三角形的性质求出AB，根据弧长公式即可求出结论． 【解答】解：∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2， ∴AB＝2AC＝4，∠BAC＝60°， 由旋转的性质得，∠BAB′＝∠BAC＝60°， ∴B点通过一次旋转至B′所经过的路径长为＝， 故答案为：． 8．（2022•沈阳）如图，边长为4的正方形ABCD内接于⊙O，则的长是