5.2导数的运算（第2课时）导数的四则运算法则（教学课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第二册）

2023-2024学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020选修第二册） 第 5 章导数及其应用 ５.２导数的运算（第2课时） 导数的四则运算法则 1 ２ 导数的四则运算法则 基本初等函数通过四则运算可以产生新的初等函数．这类初 等函数的求导可以通过以下的“导数四则运算法则”归结为基本初等函数的求导． 对函数f（x）与g（x）， 用导数的定义不难推导这些公式．这里只推导关于积的求导 公式（８），其余的留给有兴趣的同学自己完成． 因为 在我们熟悉的基本初等函数中 ， 有哪些函数的图像存在水平切线？ 有哪些函数的图像在所有点处切线的斜率均大于 ０ ？ 尝试从导数公式和函数图像两个角度进行探究 ． 可得 所以，当h趋近于０时， 例６ 证明：对任何函数f（x）与任何常数C，都有 证明 用乘积求导的公式和常函数求导的公式，得到 例７ 求下列函数的导数： 解 （１）用积的求导公式以及幂函数与正弦函数求导公式， 得到 （２）用商的求导公式、和的求导公式以及幂函数与常函数的 求导公式，得到 （３）先把函数表达式展开，得 再用和、差 的求导公式、例６的公式以及幂函数与常函数的求导公式，得到 课本练习 宋老师数学精品工作室 练习５．2（2） 求下列函数 y＝ f（ x ） 的导数 ， 其中 ： 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 随堂检测 宋老师数学精品工作室 1、已知函数f(x)＝cos x＋ln x，则f ′(1)的值为（ ） A．1－sin 1 B．1＋sin 1 C．sin 1－1 D．－sin 1 【提示】注意：理解与用好导数的四则运算法则； 【答案】A； 2、函数y＝2x3＋x2－x＋1的导数为 ． 【提示】注意：理解与用好导数的四则运算法则； 【答案】6x2＋2x－1.； 【解析】y′＝(2x3) ′＋(x2) ′－(x) ′＋(1) ′＝6x2＋2x－1.； 宋老师数学精品工作室 3、已知函数f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，则a＝________. 【提示】注意：理解与用好导数的四则运算法则； 【答案】1； 【解析】由f(x)＝4x2＋4ax＋a2，因为，f′(x)＝8x＋4a， 所以，f′(2)＝16＋4a＝20，解得a＝1； 4、已知f(x)＝xln x＋2 018x，若f′(x0)＝2 020，则x0＝. 【提示】注意：理解与用好导数的四则运算法则，然后列方程求解； 【答案】e； 【解析】因为f′(x)＝ln x＋1＋2 018，所以f′(x0)＝ln x0＋2 019＝2 020， 则ln x0＝1，解得x0＝e.； 宋老师数学精品工作室 5、已知f(x)＝a2(a为常数)，g(x)＝ln x，若2x[f′(x)＋1]－g ′(x)＝1，则x＝________. 【提示】注意：理解与用好导数的四则运算法则，然后列方程求解； 【答案】1； 6、若f(x)＝x2－2x－4ln x，则f′(x)＞0的解集为 【提示】注意：理解与用好导数的四则运算法则，然后解不等式； 【答案】(2，＋∞)； 宋老师数学精品工作室 7、已知f(x)＝x，g(x)＝x2，h(x)＝x3，m(x)＝x2；试求： （1）f(x)，g(x)的导数分别是什么？ （2）Q(x)＝x＋x2的导数． （3）Q(x)的导数与f(x)，g(x)的导数有何关系？ （4）对于任意函数f(x)，g(x)都满足(f(x)＋g(x))′＝f′(x)＋g′(x)吗？ （5）能否用h(x)和m(x)的导数表示h(x)·m(x)的导数？如何表示？ （6）对于其他函数还满足上述关系吗？ 宋老师数学精品工作室 【解析】（1）f′(x)＝1，g′(x)＝2x； （2）因Δy＝Δx＋2xΔx＋(Δx)2， 当Δx→0时，f′(x)＝1＋2x； （3）Q(x)的导数等于f(x)，g(x)的导数和； （4）满足； （5）能．因h′(x)＝3x2，m′(x)＝2x，(h(x)m(x))′＝5x4，有(h(x)m(x))′＝h′(x)m(x)＋h(x)m′(x) ； （6）满足； 宋老师数学精品工作室 THANKS “ ” $