第25讲-公因数和最大公因数的应用（讲义）-2022-2023学年五年级数学下册（人教版，讲解版+练习版）

五年级数学下册 人教版 《公因数和最大公因数的应用》精准讲练 在铺地砖问题中，要使地面铺满且使用的地砖是整块时，就是求长和宽的公因数；要求地砖的边长最大是多少，就是求长和宽的最大公因数。 一个长方形，长24厘米，宽18厘米。如果把这个长方形剪成边长为整厘米数的正方形，而没有剩余，剪成的正方形边长最长是( )厘米，能剪成( )个这样的正方形。 答案：     6     12 解析：剪成正方形没有剩余，说明正方形的边长是24和18的公因数，求最长的边长即是求24和18的最大公因数，然后用长方形的长和宽分别除以它们的最大公因数，求出长和宽可以分别可以剪出几个正方形，最后用长可以剪出的正方形的个数乘宽可以剪出正方形的个数即可。 24＝2×2×2×3 18＝2×3×3 24和18的最大公因数是：2×3＝6。 即剪成的正方形边长最长是6厘米。 （24÷6）×（18÷6） ＝4×3 ＝12（个） 即能剪成12个这样的正方形。 两个非0且不相等的自然数，它们的公因数是有限的，公倍数是无限的。( ) 答案：√ 解析：两个数公有的因数叫做它们的公因数，两个数公因数的个数是有限的，最小公因数是1，两个数公有的倍数叫做它们的公倍数，两个数公倍数的个数是无限的，没有最大公倍数，据此解答。 分析可知，两个非0且不相等的自然数，它们的公因数是有限的，公倍数是无限的，如：2和4，2和4的公因数有1，2；2和4的公倍数有4，8，12，16… 故答案为：√ 两个数的最大公因数是2，最小公倍数是12，这两个数可能是（    ）。 A．1和12 B．4和12 C．3和4 D．4和6 答案：D 解析：两个数互质，则最大公因数是1，最小公倍数就是这两个数的乘积；两个数为倍数关系，则最大公因数是较小的数，最小公倍数为较大的数。先把要求的两个数分别分解质因数，然后把它们公有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最大公因数，把它们公有的质因数和独有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最小公倍数。据此分别求出各选项的最大公因数和最小公倍数，再作判断。 由分析得： A．1和12的最大公因数是1，最小公倍数是12，不合题意； B．12是4的倍数，所以4和12的最大公因数是4，最小公倍数是12，不合题意； C．3和4互质，所以3和4的最大公因数是1，最小公倍数是12，不合题意； D．4＝2×2，6＝2×3，所以4和6的最大公因数是2，最小公倍数是2×2×3＝12，符合题意。 故答案为：D 三年级同学参加义务劳动，一班48人，二班42人，如果把两班的学生分别分成若干小组，要使两个班每个小组的人数相同，每组最多有多少人？ 答案：48＝2×2×2×2×3 42＝2×3×7 则48和42的最大公因数是2×3＝6 答：每组最多有6人。 解析：由题意可知，要使两个班每个小组的人数相同，则每组最多的人数就是48和42的最大公因数，据此解答即可。 一、填空题 1．甲数是12，甲、乙两数的最大公因数是4，最小公倍数是84，那么乙数是( )。 2．如果，，那么a和b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 3．a是大于0的自然数，b＝a＋1，那么a和b的最大公因数是( )。 4．两根彩带，长度分别是44厘米和56厘米。要把它们截成同样长的小段，不能有剩余，每段最长是( )厘米。 5．有两根分别长32厘米和24厘米的彩带，现在要把两根彩带剪成同样长的短彩带且没有剩余，短彩带最长是( )厘米。 二、判断题 1．分数分子和分母的最大公因数是2。( ) 2．10和15的最大公因数是5，最小公倍数是15。( ) 3．18和36的最大公因数是18，最小公倍数也是18。( ) 4．在a，b两个数中，如果a是它们的最大公因数，b就是它们的最小公倍数。( ) 5．m和n是两个相邻的自然数，它们的最大公因数是1，最小公倍数是mn。（m、n均不为0）( ) 三、选择题 1．X和Y是两个非零自然数，且X＝4Y，则X和Y的最大公因数是（    ）。 A．X B．Y C．4 D．1 2．a和b的最大公因数是1，它们的最小公倍数是（    ）。 A．a B．b C．a×b D．a÷b 3．下面叙述错误的是（    ）。 A．等底等高的三角形面积相等 B．a÷b＝12（a，b都是非0自然数），那么a与b的最大公因数是12 C．求组合图形的面积里，蕴含着转化的数学思想 D．的分母加上24，要使分数的大小不变，分子应乘4 4．一块长方形布料，长42cm，宽35cm，要将它做成大小相同方巾并且都无剩余，这块长方形布料至少能做（    ）块